Trisectriz de Longchamps (color rojo) La trisectriz de Longchamps (también conocida como trébol equilátero ) es una curva plana que lleva el nombre del matemático francés Gohierre de Longchamps (1842-1906),[ 1] trisección de un ángulo (de ahí la denominación de trisectriz ).
En un círculo con un centro
M
{\displaystyle M}
A
B
{\displaystyle AB}
B
′
{\displaystyle B'}
A
′
{\displaystyle A'}
B
′
{\displaystyle B'}
B
{\displaystyle B}
A
′
{\displaystyle A'}
A
{\displaystyle A}
A
′
{\displaystyle A'}
B
′
{\displaystyle B'}
E
{\displaystyle E}
lugar geométrico de los puntos
E
{\displaystyle E}
Ecuaciones
Para un círculo con radio
a
{\displaystyle a}
coordenadas polares :[ 2]
r
=
−
a
cos
(
3
φ
)
{\displaystyle r=-{\frac {a}{\cos(3\varphi )}}}
La siguiente ecuación en coordenadas cartesianas se deduce de la expresión anterior:
x
(
x
2
−
3
y
2
)
+
a
(
x
2
+
y
2
)
=
0
{\displaystyle x(x^{2}-3y^{2})+a(x^{2}+y^{2})=0}
Utilizando el parámetro
γ
:
[
0
,
2
π
]
→
R
2
{\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
γ
(
t
)
=
(
x
(
t
)
y
(
t
)
)
=
(
−
cos
(
t
)
cos
(
3
t
)
a
−
cos
(
t
)
sin
(
3
t
)
a
)
{\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\cos(t)}{\cos(3t)}}a\\-{\frac {\cos(t)}{\sin(3t)}}a\end{pmatrix}}}
También es posible expresar la curva según el parámetro
γ
:
(
−
∞
,
∞
)
→
R
2
{\displaystyle \gamma :(-\infty ,\infty )\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
funciones racionales :[ 1]
γ
(
t
)
=
(
x
(
t
)
y
(
t
)
)
=
(
−
1
+
t
2
1
−
3
t
2
a
1
+
t
2
1
−
3
t
2
a
t
)
{\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}a\\{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}at\end{pmatrix}}}
Propiedades
Trisectriz de Longchamps (en rojo) con asíntotas (punteado), ejes de simetría (trazos) y su curva inversa , el trébol regular (azul) La trisectriz de Longchamps tiene tres asíntotas y tres ejes de simetría:
Asíntotas
x
=
a
3
{\displaystyle x={\frac {a}{3}}}
y
=
−
1
3
x
−
2
a
3
3
{\displaystyle y=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x-{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}}
y
=
1
3
x
+
2
a
3
3
{\displaystyle y={\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}}
Ejes de simetría
y
=
0
{\displaystyle y=0}
y
=
3
2
x
{\displaystyle y={\frac {\sqrt {3}}{2}}x}
y
=
−
3
2
x
{\displaystyle y=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}x}
La inversión de la trisectriz respecto al círculo de su definición genera un trébol regular .[ 1]
Referencias
Gino Loria: Spezielle algebraische und transscendente Ebene Kurven: Theorie und Geschichte . Teubner, 1902, S. 87–88
Heinrich Wieleitner: Spezielle Ebene Kurven . G. J. Göschen, Leipzig 1908, S. 47
Vladimir Rovenski: Geometry of Curves and Surfaces with MAPLE . Springer, 2013, ISBN 9781461221289 , S. 70
Eugene V. Shikin: Handbook and Atlas of Curves . CRC Press, 1996, ISBN 9780849389634 , S. 355
Enlaces externos
![{\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea32becc154f483bda6d73f47426b17ddd93952)
