Rombo áureo

El rombo áureo.

En geometría, un rombo áureo (también denominado rombo dorado o rombo de oro) se caracteriza porque sus diagonales están en la proporción ${\displaystyle {\frac {p}{q}}=\varphi \!}$, donde ${\displaystyle \varphi \!}$ es el número áureo.

Elementos

Los ángulos internos del rombo son

${\displaystyle 2\arctan {\frac {1}{\varphi }}=\arctan {2}\approx 63.43495}$ grados

${\displaystyle 2\arctan \varphi =\arctan {1}+\arctan {3}\approx 116.56505}$ grados, que también es el ángulo diedro del dodecaedro

La longitud del lado del rombo áureo con diagonal corta ${\displaystyle q=1}$ es

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}e&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}\\&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\\&=&{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\\&\approx &0.95106\end{array}}}$

Un rombo áureo con longitud de los lados unidad, tiene longitudes diagonales

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}p&=&{\frac {\varphi }{e}}\\&=&2{\frac {1+{\sqrt {5}}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.70130\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}q&=&{\frac {1}{e}}\\&=&4{\frac {1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.05146\end{array}}}$

Poliedros

Varios poliedros notables tienen rombos áureos como caras, incluyendo:

• Los dos romboedros áureos (con seis caras cada uno)
• El dodecaedro de Bilinski (con 12 caras)
• El icosaedro rómbico (con 20 caras)
• El triacontaedro rómbico (con 30 caras)
• El hexacontaedro rómbico no convexo (con 60 caras)

Los primeros cinco de estos son los únicos poliedros convexos con caras de rombos áureos, pero existen infinitos poliedros no convexos que tienen esta forma para todas sus caras.[1]​

• 
  Romboedro áureo agudo
• 
  Romboedro áureo obtuso
• 
  Dodecaedro de Bilinski
• 
  Icosaedro rómbico
• 
  Triacontaedro rómbico
• 
  Hexacontaedro rómbico

Véase también

• Rectángulo dorado
• Triángulo áureo

Referencias

1. Grünbaum, Branko (2010), «The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra», The Mathematical Intelligencer 32 (4): 5-15, MR 2747698, doi:10.1007/s00283-010-9138-7, archivado desde el original el 2 de abril de 2015, consultado el 3 de junio de 2018 ..

Bibliografía

• M. Livio, "La relación áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo", Nueva York: Broadway Books, p. 206, 2002.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Golden Rhombus». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Golden Rhombohedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q5580046
• Multimedia: Golden rhombus / Q5580046