Mediano triacontaedro rómbico

Mediano triacontaedro rómbico
Modelo 3D
Tipo	poliedro, poliedro no convexo y estelaciones del triacontaedro rómbico
Dual	dodecadodecaedro
Elementos
Vértices	24
Aristas	60
Caras	30
Más información
MathWorld	MedialRhombicTriacontahedron

En geometría, el mediano triacontaedro rómbico (o triacontaedro rómbico medio) es un poliedro isoedral no convexo. Es una estelación del triacontaedro rómbico, y también puede llamarse pequeño triacontaedro estrellado. Su dual es el dodecadodecaedro.[1]​

Propiedades

Forma de las caras

Sus 24 vértices están todos en los 12 ejes con simetría quíntuple (es decir, cada uno corresponde a uno de los 12 vértices del icosaedro regular). Esto significa que en cada eje hay un vértice interno y otro externo. La relación entre los radios de los vértices externos e internos es de ${\displaystyle \varphi \approx 1.618}$, el número áureo.

Tiene 30 caras rómbicas que se cruzan, que corresponden a las caras del triacontaedro rómbico convexo. Las diagonales en los rombos del sólido convexo tienen una razón de 1 a ${\displaystyle \varphi }$. El sólido se puede generar a partir del convexo estirando la diagonal más corta desde la longitud 1 hasta ${\displaystyle \varphi ^{3}\approx 4.236}$. Entonces, la razón de las diagonales del rombo en el sólido medio es de 1 a ${\displaystyle \varphi ^{2}\approx 2.618}$.

Este sólido es al compuesto de pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro lo que la envolvente convexa es al compuesto de dodecaedro e icosaedro: las aristas cruzadas en el politopo compuesto son las diagonales de los rombos.

Las caras tienen dos ángulos de ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{3}}{\sqrt {5}})\approx 41.810\,314\,895\,78^{\circ }}$ y dos de ${\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5}})\approx 138.189\,685\,104\,22^{\circ }}$. Su ángulo diedro es igual a ${\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{2}})=120^{\circ }}$. Parte de cada rombo se encuentra dentro del sólido, por lo que es invisible en los modelos sólidos.

Triacontaedro convexo y mediano triacontaedro rómbico (ambos mostrados con simetría tetraédrica); y a la derecha el politopo compuesto de los sólidos de Kepler-Poinsot

Proyecciones ortográficas de los ejes de 2, 3 y 5 lóbulos de simetría

Teselado hiperbólico relacionado

Es topológicamente equivalente a un espacio cociente del teselado cuadrado de orden-5 hiperbólico, distorsionando los rombos en cuadrados. Como tal, topológicamente es un poliedro regular de índice dos.[2]​

Debe tenerse en cuenta que el teselado cuadrado de orden 5 es dual al teselado pentagonal de orden-4, y un espacio cociente del mosaico pentagonal de orden 4 es topológicamente equivalente al dual del mediano triacontaedro rómbico, el dodecadodecaedro.

Véase también

• Gran triacontaedro rómbico
• Gran icosaedro triámbico

Referencias

1. Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 730208 .
2. The Regular Polyhedra (of index two) Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine., David A. Richter

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Medial Rhombic Triacontahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• David I. McCooey: animación y medidas
• Poliedros uniformes y duales

• Datos: Q15932244
• Multimedia: Medial rhombic triacontahedron / Q15932244