Espacio vectorial topológico metrizable

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio vectorial topológico (EVT) metrizable (o en su caso, pseudometrizable) es un EVT cuya topología es inducida por una métrica (o en su caso alternativo, por una pseudométrica). Un espacio LM es un límite directo de una secuencia de EVT metrizables localmente convexos.

Pseudométricas y métricas

Una pseudométrica en un conjunto es una aplicación que satisface las siguientes propiedades:

  1. ;
  2. Simetría: ;
  3. Subaditividad: .

Una pseudométrica se denomina métrica si satisface:

  1. Identidad de los indiscernibles: para todo , si entonces .

Ultrapseudométrico

Una aplicación pseudométrica en se denomina ultrapseudométrica o pseudométrica fuerte si satisface:

  1. Fuerte/Desigualdad triangular ultramétrica: .

Espacio pseudométrico

Un espacio pseudométrico es un par que consta de un conjunto y de una pseudométrica en tal que la topología de es idéntica a la topología en inducida por . Se denomina a un espacio pseudométrico un espacio métrico (respectivamente, espacio ultrapseudométrico) cuando es una métrica (respectivamente, una ultrapseudométrica).

Topología inducida por una pseudométrica

Si es una pseudométrica en un conjunto , entonces una colección de bolas abiertas:

, ya que abarca y abarca los números reales positivos, y forma una base para una topología en que se llama -topología o topología pseudométrica en inducida por .
Convención: Si es un espacio pseudométrico y se trata como un espacio topológico, a menos que se indique lo contrario, se debe suponer que está dotado de la topología inducida por .

Espacio pseudometrizable

Un espacio topológico se denomina pseudometrizable (respespectivamente, metrizable, ultrapseudometrizable) si existe un pseudométrico (respespectivamente, métrico, ultrapseudométrico) en tal que es igual a la topología inducida por .[1]

Pseudométricas y valores sobre grupos topológicos

Un grupo topológico aditivo es un grupo aditivo dotado de una topología, denominada topología de grupo, bajo la cual la suma y la negación se convierten en operadores continuos.

Una topología en un espacio vectorial real o complejo se denomina topología vectorial o topología EVT si hace que las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar sean continuas (es decir, si convierte en un espacio vectorial topológico).

Cada espacio vectorial topológico (EVT) es un grupo topológico conmutativo aditivo, pero no todas las topologías de grupo en son topologías vectoriales. Esto se debe a que, a pesar de hacer que la suma y la negación sean continuas, una topología de grupo en un espacio vectorial puede no lograr que la multiplicación escalar sea continua. Por ejemplo, una topología discreta en cualquier espacio vectorial no trivial hace que la suma y la negación sean continuas, pero no hace que la multiplicación escalar sea continua.

Pseudométricas invariantes con respecto a la traslación

Si es un grupo aditivo, entonces se dice que una pseudométrica en es invariante a la traslación o simplemente invariante si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

  1. Simetría traslacional: ;
  2. .

Valor/G-seminorma

Si es un grupo topológico, un valor o G-seminorma en (la G significa grupo) es una aplicación sobre valores reales con las siguientes propiedades:[2]

  1. No negativa:
  2. Subaditiva:
  3. .
  4. Simétrica:

donde se denomina G-seminorma a una g-norma si satisface la condición adicional:

  1. Total/Positiva definida: Si entonces

Propiedades de los valores

Si es un valor en un espacio vectorial , entonces:

  • .[3]
  • y para todo y enteros positivos .[4]
  • El conjunto es un subgrupo aditivo de .[3]

Equivalencia en grupos topológicos

Teorema[2]

Supóngase que es un grupo conmutativo aditivo. Si es una pseudométrica invariante respecto a la traslación en , entonces la aplicación es un valor en llamado el valor asociado con y, además, genera una topología de grupo en (es decir, la topología en hace de un grupo topológico). Por el contrario, si es un valor en , entonces la aplicación es una pseudométrica invariante a la traslación en y el valor asociado con es solo .

Grupos topológicos pseudometrizables

Teorema[2]

Si es un grupo topológico aditivo conmutativo, entonces lo siguiente es equivalente:

  1. es inducido por una pseudométrica; (es decir, es pseudometrizable);
  2. es inducido por una pseudométrica invariante a la traslación;
  3. El elemento de identidad en tiene una base de entorno contable.

Si es de Hausdorff, entonces la palabra "pseudométrica" en la declaración anterior puede reemplazarse por la palabra "métrica". Un grupo topológico conmutativo es metrizable si y solo si es de Hausdorff y pseudometrizable.

Pseudométrica invariante que no induce una topología vectorial

Sea un espacio vectorial real o complejo no trivial (es decir, ) y sea la métrica trivial invariante de traslación en definida por y tal que . La topología que induce en es discreta, lo que convierte a en un grupo topológico conmutativo respecto a la suma, pero no forma una topología vectorial en porque es no conexo, aunque cada topología vectorial sea conexa. Esta circunstancia es debida a que la multiplicación escalar no es continua en .

Este ejemplo muestra que una (pseudo)métrica invariante a la traslación no es suficiente para garantizar una topología vectorial, lo que lleva a definir paranormas y seminormas F.

Secuencias aditivas

Una colección de subconjuntos de un espacio vectorial se llama aditiva[5]​ si para cada , existe algún tal que .

Continuidad de la adición en 0

Si es un group (como lo son todos los espacios vectoriales), es una topología en , y está dotado de topología producto, entonces la aplicación de suma (es decir, la aplicación ) es continua en el origen de si y solo si el conjunto de entorno del origen en es aditivo. Esta afirmación sigue siendo cierta si la palabra "entorno" se reemplaza por "entorno abierto".[5]

En consecuencia, todas las condiciones anteriores son necesarias para que una topología forme una topología vectorial. Las secuencias aditivas de conjuntos tienen la propiedad particularmente conveniente de que definen funciones subaditivas continuas y no negativas de valor real. En consecuencia, estas funciones se pueden usar para probar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos y también mostrar que un EVT de Hausdorff con una base contable de entorno es metrizable. El siguiente teorema es cierto de manera más general para los grupos topológicos aditivos conmutativos.

Teorema

Sea una colección de subconjuntos de un espacio vectorial tal que y para todo . Para todos los , sea

.

Defínase por si es y en caso contrario, se considera que

.

Entonces, es subaditivo (lo que significa que ) y en , por lo que en particular . Si todos los son conjuntos simétricos, entonces , y si todos los son equilibrados, entonces para todos los escalares de modo que y todos los . Si es un espacio vectorial topológico y si todos los son entornos del origen, entonces es continuo, donde si además es de Hausdorff y forma una base de entornos equilibradas del origen en , entonces es una métrica que define la topología vectorial en .

Demostración
Supóngase que siempre denota una secuencia finita de números enteros no negativos y utilice la notación:
.

Para cualquier número entero y ,

.

De esto se deduce que si consta de números enteros positivos distintos, entonces .

Ahora se demostrará por inducción en que si consta de números enteros no negativos tales como para algún número entero , entonces . Esto es claramente cierto para y , así que supóngase que , implica que todos los son positivos. Si todos los son distintos, entonces se realiza este paso; de lo contrario, se deben seleccionar índices distintos, de modo que y construir a partir de reemplazando cada con y eliminando el elemento de (todos los demás elementos de se transfieren a sin cambios). Se observa que y (porque ), por lo que apelando a la hipótesis inductiva se concluye que , lo que se buscaba.

Está claro que y , así que para probar que es subaditivo, basta probar que cuando son tales que , lo que implica que .

Si todos los son simétricos, entonces si y solo si de lo cual se deduce que y . Si todos los están equilibrados, entonces la desigualdad para todos los escalares unitarios tales que se demuestra de manera similar. Debido a que es una función subaditiva no negativa que satisface , como se describe en el artículo sobre funcionales sublineales, es uniformemente continua en si y solo si es continua en el origen. Si todos los son entornos del origen, entonces, para cualquier , real, elíjase un número entero tal que , de modo que implique que . Si el conjunto de todos los forma una base equilibrada de entornos del origen, entonces se puede demostrar que para cualquier , existe algún tal que , lo que implica que .

Paranormas

Si es un espacio vectorial sobre los números reales o los complejos, entonces una paranorma en es una G-seminorma (definida anteriormente) en que satisface cualquiera de las siguientes condiciones adicionales, cada una de las cuales comienza con "para todas las secuencias en y todas las secuencias convergentes de escalares ":[6]

  1. Continuidad de la multiplicación: si es un escalar y son tales que y , entonces .
  2. Ambas condiciones:
    • si y si es tal que , entonces ;
    • si entonces para cada escalar .
  3. Ambas condiciones:
    • si y para algún escalar , entonces ;
    • si entonces .
  4. Continuidad separada:[7]
    • si para algún escalar, entonces para cada ;
    • si es un escalar, , y , entonces .

Una paranorma se llama total si además satisface que:

  • Total/Positivo definido: implica .

Propiedades de las paranormas

Si es una paranorma en un espacio vectorial , entonces la aplicación definida por es una pseudométrica invariante de traslación en , que define una topología vectorial en .[8]

Si es una paranorma en un espacio vectorial , entonces:

  • el conjunto es un subespacio vectorial de .[8]
  • con .[8]
  • Si una paranorma satisface que y los escalares , entonces es absolutamente homogénea (es decir, se mantiene la igualdad)[8]​ y, por lo tanto, es una seminorma.

Ejemplos de paranormas

  • Si es una pseudométrica invariante de traslación en un espacio vectorial que induce una topología vectorial en (es decir, es un EVT), entonces la aplicación define una paranorma continua en . Además, la topología que esta paranorma define en es .[8]
  • Si es una paranorma en , entonces también lo es la aplicación .[8]
  • Cada múltiplo escalar positivo de una paranorma (o paranorma total) es nuevamente una paranorma (o, respectivamente, una paranorma total).
  • Cada seminorma es una paranorma.[8]
  • La restricción de una paranorma (o paranorma total) a un subespacio vectorial es una paranorma (o, respectivamente, una paranorma total).[9]
  • La suma de dos paranormas es una paranorma.[8]
  • Si y son paranormas en , entonces también lo es . Además, y , lo que convierte el conjunto de paranormas en en un retículo condicionalmente completo.[8]
  • Cada una de las siguientes aplicaciones de valor real son paranormas en :
  • Las aplicaciones de valor real y no son una paranorma en .[8]
  • Si es una base en un espacio vectorial , entonces la aplicación de valor real que hace corresponder (donde todos menos un número finito de los escalares son 0) a es una paranorma en , que satisface para todos los y los escalares .[8]
  • La función es una paranorma en que no es equilibrada pero, sin embargo, es equivalente a la norma habitual en . Téngase en cuenta que la función es subaditiva.[10]
  • Sea un espacio vectorial complejo y denótese por a considerado como un espacio vectorial sobre . Cualquier paranorma en es también una paranorma en .[9]

F-seminormas

Si es un espacio vectorial sobre los números reales o los complejos, entonces una F-seminorma en (la letra hace referencia a Fréchet) es una aplicación de valor real con las siguientes cuatro propiedades:[11]

  1. No negativo': .
  2. 'Subaditivo: para todos los
  3. 'Equilibrado: para todos los escalares que satisfacen
    • Esta condición garantiza que cada conjunto de la forma o para algún sea un conjunto equilibrado.
  4. Por cada , como
    • La secuencia puede ser reemplazada por cualquier secuencia positiva que converja al cero.[12]

Una seminorma F se denomina norma F' si además satisface:

  1. Total/Positiva definida: implica .

Una seminorma F se llama monótona si satisface:

  1. Monótona: para todos los distintos de cero y todos los y reales de modo que .[12]

Espacios F-seminormados

Un F-espacio seminormado (o F-espacio normado)[12]​ es un par que consta de un espacio vectorial y una F-seminorma (o respectivamente, F-norma) en .

Si y son espacios F seminormados, entonces una aplicación se llama embebido isométrico'[12]​ si .

Cada embebido isométrico de un espacio seminormado F en otro es un embebido topográfico, pero lo contrario no es cierto en general.[12]

Ejemplos de F-seminormas

  • Cada múltiplo escalar positivo de una F-seminorma (o respectivamente F-norma o seminorma) es nuevamente una F-seminorma (o respectivamente, F-norma o seminorma).
  • La suma de un número finito de F-seminormas (o respectivamente F-normas) es una F-seminorma (o respectivamente, una F-norma).
  • Si y son F-seminormas en , entonces también lo es su supremo puntual . Lo mismo ocurre con el supremo de cualquier familia finita no vacía de F-seminormas en .[12]
  • La restricción de una F-seminorma (o respectivamente, F-norma) a un subespacio vectorial es una F-seminorma (o respectivamente, una F-norma).[9]
  • Una función de valor real no negativo en es una seminorma si y solo si es una F-seminorma convexa, o de manera equivalente, si y solo si es una G-seminorma convexa equilibrada.[10]​ En particular, cada seminorma es una F-seminorma.
  • Para cualquier , la aplicación en definida por
    es una F-norma, pero que no es una norma.
  • Si es una aplicación lineal y si es una F-seminorma en , entonces es una F-seminorma en .[12]
  • Sea un espacio vectorial complejo y denótese como un considerado como un espacio vectorial sobre . Cualquier F-seminorma en también es una F-seminorma en .[9]

Propiedades de las seminormas F

Cada seminorma F es una paranorma y cada paranorma es equivalente a alguna seminorma F.[7]​ Cada seminorma F en un espacio vectorial es un valor en . En particular, , y para todo .

Topología inducida por una seminorma única F

Teorema[11]

Sea una seminorma F en un espacio vectorial . Entonces, la aplicación definida por

es una pseudométrica invariante de traslación en que define una topología vectorial en . Si es una norma F, entonces es una métrica. Cuando está dotado de esta topología, entonces es una aplicación continua en .

Los conjuntos equilibrados , ya que se extiende sobre los números reales positivos, forman una base de entorno en el origen para esta topología que consiste en un conjunto cerrado. De manera similar, los conjuntos equilibrados , cuando se extiende sobre los números reales positivos, forman una base de entorno en el origen de esta topología que consta de conjuntos abiertos.

Topología inducida por una familia de seminormas F

Supóngase que es una colección no vacía de seminormas F en un espacio vectorial y para cualquier subconjunto finito y cualquier , sea

.

El conjunto forma una base de filtro en que también forma una base de entorno en el origen para una topología vectorial en denotada por .[12]​. Cada es un subconjunto equilibrado y absorbente de .[12]​. Estos conjuntos satisfacen que[12]

.
  • es la topología vectorial más aproximada en , lo que hace que cada sea continuo.[12]
  • es de Hausdorff si y solo si para cada distinto de cero, existe algún tal que .[12]
  • Si es el conjunto de todas las seminormas F continuas en , entonces .[12]
  • Si es el conjunto de todos los supremos puntuales de subconjuntos finitos no vacíos de de , entonces es una familia dirigida de seminormas F y .[12]

Combinación de Fréchet

Supóngase que es una familia de funciones subaditivas no negativas en un espacio vectorial .

La combinación de Fréchet[8]​ de se define como la aplicación de valor real

.

Como una F-seminorma

Supóngase que es una secuencia creciente de seminormas en y sea la combinación de Fréchet de . Entonces, es una F-seminorma en que induce la misma topología localmente convexa que la familia de seminormas.[13]

Dado que es creciente, una base de entornos abiertas del origen consta de todos los conjuntos de la forma , ya que abarca todos los números enteros positivos y abarca todos los números reales positivos.

La pseudométrica invariante a la traslación sobre inducida por esta F-seminorma es

.

Esta métrica para los espacios de secuencias reales y complejas con operaciones puntuales fue descubierta por Maurice Fréchet en su tesis doctoral de 1906.[14]

Como paranorma

Si cada es una paranorma, entonces también lo es y, además, induce la misma topología en que la familia de paranormas.[8]​ Esto también se aplica a las siguientes paranormas en :

  • .[8]
  • .[8]

Generalización

La combinación de Fréchet se puede generalizar mediante el uso de una función de remetrización acotada.

Una función de remetrización acotada[15]​ es una aplicación continua, no negativa y no decreciente que tiene un rango acotado, es subaditiva (lo que significa que para todos los ) y satisface que si y solo si .

Ejemplos de funciones de remetrización acotadas incluyen , , , y .[15]

Si es una pseudométrica (respectivamente, métrica) en y es una función de remetrización acotada, entonces es una pseudométrica acotada (respectivamente, métrica acotada) en que es uniformemente equivalente a .[15]

Supóngase que es una familia de seminormas F no negativa en un espacio vectorial , es una función de remetrización acotada y es una secuencia de números reales positivos cuya suma es finita. Entonces

define una seminorma F acotada que es uniformemente equivalente a .[16]​ Tiene la propiedad de que para cualquier neto en , si y solo si para todos los .[16] es una norma F si y solo si separa puntos en .[16]

Caracterizaciones

De (pseudo)métricas inducidas por (semi)normas

Una pseudométrica (resp. métrica) es inducida por una seminorma (resp. norma) en un espacio vectorial si y solo si es invariante de traslación y absolutamente homogéneo, lo que significa que para todos los escalares y todos , en cuyo caso la función definida por es una seminorma (resp. norma) y la pseudométrica (resp. métrica) inducida por es igual a .

De EVT pseudometrizables

Si es un espacio vectorial topológico (EVT) (donde tenga en cuenta en particular que se supone que es una topología vectorial), entonces lo siguiente es equivalente:[11]

  1. es pseudometrizable (es decir, la topología vectorial es inducida por una pseudometría en ).
  2. tiene una base de entorno contable en el origen.
  3. La topología en es inducida por una pseudométrica invariante a la traslación en .
  4. La topología en está inducida por una seminorma F.
  5. La topología de está inducida por una paranorma.

De EVT metrizables

Si es un EVT, lo siguiente es equivalente:

  1. es metrizable.
  2. es Hausdorff y pseudometrizable.
  3. es Hausdorff y tiene una base de entorno contable en el origen.[11][12]
  4. La topología en es inducida por una métrica invariante de traslación en .[11]
  5. La topología en está inducida por una norma F.[11][12]
  6. La topología en está inducida por una norma F monótona.[12]
  7. La topología de está inducida por una paranorma total.

Grupo topológico

Si es un espacio vectorial topológico, entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes:[17][nota 1]

  1. El origen está cerrado en , y hay un conjunto numerable basis of neighborhoods para en .
  2. es metrizable (como espacio topológico).
  3. Hay un espacio métrico en que induce en la topología , que es la topología dada en .

Según el teorema de Birkhoff-Kakutani, se deduce que hay un equivalent metric que es invariante en la traslación.

EVT pseudometrizables localmente convexos

Si es EVT, entonces lo siguiente es equivalente:[13]

  1. es espacio localmente convexo y pseudometrizable.
  2. tiene una base de entorno contable en el origen que consta de conjuntos convexos.
  3. La topología de es inducida por una familia contable de seminormas (continuas).
  4. La topología de es inducida por una secuencia creciente contable de seminormas (continuas) (creciente significa que para todos , .
  5. La topología de es inducida por una seminorma F de la forma:
    donde son seminormas (continuas) en .[18]

Cocientes

Sea un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico .

  • Si es un EVT pseudometrizable, entonces también lo es .[11]
  • Si es un EVT pseudometrizable completo y es un subespacio vectorial cerrado de , entonces está completo.[11]
  • Si es EVT metrizable y es un subespacio vectorial cerrado de , entonces es metrizable.[11]
  • Si es una seminorma F en , entonces la aplicación definida por
    es una seminorma F en que induce la topología habitual en .[11]​ Si además es una norma F en y si es un subespacio vectorial cerrado de entonces es una norma F en .[11]

Ejemplos y condiciones suficientes

  • Cada seminorma es pseudometrizable con una pseudométrica canónica dada por para todos los .[19]​.
  • Si es un EVT pseudométrico con un , pseudométrico invariante de traslación, entonces define una paranorma.[20]​ Sin embargo, si es una pseudométrica invariante de traslación en el espacio vectorial (sin la condición de adición de que sea un EVT pseudométrico), entonces no necesita ser ni una seminorma F[21]​ ni una paranorma.
  • Si un EVT tiene una entorno acotada del origen, entonces es pseudometrizable; lo contrario es en general falso.[14]
  • Si un EVT de Hausdorff tiene un entorno acotado del origen, entonces es metrizable.[14]
  • Supóngase que es un DF-espacio o un LM-espacio. Si es un espacio secuencial, entonces es metrizable o es un espacio DF de Montel.

Si es un EVT localmente convexo de Hausdorff, entonces con una topología fuerte, , es metrizable si y solo si existe un conjunto contable de subconjuntos acotados de tales que cada subconjunto acotado de esté contenido en algún elemento de .[22]

El espacio dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable (como un espacio de Fréchet[23]​) es un DF-espacio.[24]​ El dual fuerte de un espacio DF es un espacio de Fréchet.[25]​ El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio bornológico.[24]​ El bidual fuerte (es decir, el espacio dual fuerte de un espacio dual fuerte) de un espacio localmente convexo metrizable es un espacio de Fréchet.[26]​ Si es un espacio metrizable localmente convexo, entonces su dual fuerte tiene una de las siguientes propiedades, si y solo si tiene todas estas propiedades: (1) bornología, (2) infrabarrilado, (3) barrilado.[26]

Normabilidad

Un espacio vectorial topológico es seminormable si y solo si tiene un entorno acotado convexo del origen. Además, un EVT es normable si y solo si es de Hausdorff y seminormable.[14]​ Cada EVT metrizable en un espacio vectorial dimensional finito es un espacio localmente convexo EVT completo normal, siendo el EVT isomórfico al espacio euclídeo. En consecuencia, cualquier EVT metrizable que sea normable no debe ser de dimensión infinita.

Si es un EVT localmente convexo metrizable que posee un sistema fundamental contable de conjuntos acotados, entonces es normal.[27]

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces lo siguiente es equivalente:

  1. es normable.
  2. tiene una entorno acotado (de von Neumann) del origen.
  3. El espacio dual fuerte de es normal.[28]

y si este espacio localmente convexo también es metrizable, entonces se puede agregar lo siguiente a esta lista:

  1. El espacio dual fuerte de es metrizable.[28]
  2. El espacio dual fuerte de es un espacio de Fréchet–Urysohn localmente convexo.[23]

En particular, si un espacio localmente convexo metrizable (como un espacio de Fréchet) no es normable, entonces su espacio dual fuerte no es un espacio de Fréchet–Urysohn y, en consecuencia, este espacio completo localmente convexo de Hausdorff tampoco es metrizable ni normable.

Otra consecuencia de esto es que si es un EVT localmente convexo reflexivo cuyo dual fuerte es metrizable, entonces es necesariamente un espacio de Fréchet reflexivo, es un DF-espacio, tanto como son necesariamente espacios reticulados ultrabornológicos distinguidos completos de Hausdorff y, además, es normable si y solo si es normalable si y solo si es un espacio de Fréchet-Urysohn si y solo si es metrizable. En particular, dicho espacio es un espacio de Banach o ni siquiera es un espacio de Fréchet-Urysohn.

Conjuntos acotados métricamente y conjuntos acotados

Supóngase que es un espacio pseudométrico y . El conjunto está limitado métricamente o limitado por si existe un número real tal que para todo ; el más pequeño se denomina diámetro o diámetro de .[14]​ Si está acotado en un EVT pseudometrizable , entonces está acotado métricamente. Lo contrario es en general falso, pero es cierto para los EVT metrizables localmente convexos.[14]

Propiedades de un EVT pseudometrizable

Teorema[29]

Todos los EVT metrizables completos separables de dimensión infinita son homeomorfismos.

  • Cada EVT localmente convexo metrizable es un espacio casibarrilado,[30]​ un espacio bornológico y un espacio de Mackey.
  • Cada EVT pseudometrizable completo es un espacio barrilado y un espacio de Baire (y por lo tanto, no es escaso).[31]​ Sin embargo, existen espacios de Baire metrizables que no son completos.[31]
  • Si es un espacio localmente convexo metrizable, entonces el dual fuerte de es bornológico si y solo si es barrilado, si y solo si es infrabarrilado.[26]
  • Si es un EVT pseudometrizable completo y es un subespacio vectorial cerrado de , entonces está completo.[11]
  • El dual fuerte de un EVT metrizable localmente convexo es un espacio reticulado.[32]
  • Si y son EVT metrizables completos (es decir, F-espacios) y si es más grueso que , entonces ;[33]​ ya no se garantiza que esto sea cierto si alguno de estos EVT metrizables no es completo.[34]​ Dicho de otra manera, si y son F-espacios pero con diferentes topologías, entonces ni ni contienen al otro como un subconjunto. Una consecuencia particular de esto es, por ejemplo, que si es un espacio de Banach y es algún otro espacio normado cuya topología inducida por normas es más fina (o alternativamente, más gruesa) que la de (es decir, si o si para alguna constante ), entonces la única manera de que pueda ser un espacio de Banach (es decir, también estar completo) es si estas dos normas y son equivalentes. Si no son equivalentes, entonces no puede ser un espacio de Banach. Como otra consecuencia, si es un espacio de Banach y es un espacio de Fréchet, entonces la función es continua si y solo si el espacio es de Fréchet y el EVT (aquí, el espacio de Banach se considera como un EVT, lo que significa que su norma es "olvidadiza", aunque se recuerda su topología).
  • Un espacio localmente convexo metrizable es normable si y solo si su espacio dual fueerte es un espacio de Fréchet–Urysohn localmente convexo.[23]
  • Cualquier producto de EVT metrizables completos es un espacio de Baire.[31]
  • Un producto de EVTs metrizables es metrizable si y solo si todos, pero a lo sumo contablemente, muchos de estos EVTs tienen la dimensión .[35]
  • .
  • Un producto de EVTs pseudometrizables es pseudometrizable si y solo si todos, pero a lo sumo contablemente, muchos de estos EVTs tienen la topología trivial.
  • Cada EVT pseudometrizable completo es un espacio barrilado y un espacio de Baire (y por lo tanto, no escaso).[31]
  • La dimensión de un EVT metrizable completo es finita o incontable.[35]

Integridad

Cada espacio vectorial topológico (y más generalmente, un grupo topológico) tiene un espacio uniforme canónico, inducido por su topología, que permite aplicarle las nociones de completitud y continuidad uniforme. Si es un EVT metrizable y es una métrica que define la topología de , entonces es posible que esté completo como EVT (es decir, en relación con su uniformidad), pero la métrica no a espacio métrico completo (dichas métricas existen incluso para ). Por lo tanto, si es un EVT cuya topología es inducida por un , pseudométrico, entonces la noción de completitud de (como EVT) y la noción de completitud del espacio pseudométrico no siempre son equivalentes. El siguiente teorema da una condición para cuando son equivalentes:

Teorema

Si es un EVT pseudometrizable cuya topología es inducida por una pseudométrica invariante a la traslación , entonces es una pseudométrica completo en si y solo si está completo como EVT.[36]

Teorema[37][38]

Sea cualquier métrica[nota 2]​ en un espacio vectorial tal que la topología inducida por en convierte a en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo, entonces es un EVT completo.

Teorema

Si es un EVT cuya topología es inducida por una paranorma , entonces está completo si y solo si para cada secuencia en , si , y entonces converge en .[39]

Si es un subespacio vectorial cerrado de un EVT , pseudometrizable completo, entonces el espacio cociente está completo.[40]​ Si es un subespacio vectorial completo de un EVT metrizable y si el espacio cociente está completo, entonces también lo está .[40]​. Si no está completo, entonces , es un subespacio vectorial de que tampoco es completo.

Un grupo topológico separable de Baire es metrizable si y solo si es cósmico.[23]

Subconjuntos y subsecuencias

  • Sea un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo separable, y sea su compleción. Si es un subconjunto acotado de , entonces existe un subconjunto acotado de tal que .[41]
  • Cada subconjunto totalmente acotado de un EVT metrizable localmente convexo está contenido en la envolvente convexa equilibrada cerrada de alguna secuencia en que converge a .
  • En un EVT pseudometrizable, cada bornívoro es un entorno del origen.[42]
  • Si es una métrica invariante de traslación en un espacio vectorial , entonces para todo y cada entero positivo .[43]
  • Si es una secuencia nula (es decir, converge al origen) en un EVT metrizable, entonces existe una secuencia de números reales positivos que divergen hacia tal que .[43]
  • Un subconjunto de un espacio métrico completo está cerrado si y solo si está completo. Si un espacio no está completo, entonces es un subconjunto cerrado de que no está completo.
  • Si es un EVT localmente convexo metrizable, entonces para cada subconjunto acotado de , existe un disco acotado en tal que , y tanto como el espacio normado auxiliar inducen el mismo subespacio topológico en .[44]

Teorema de Banach-Saks[45]

Si es una secuencia en un EVT localmente convexo metrizable que converge débilmente con algún , entonces existe una secuencia en tal que en y cada es una combinación convexa de un número finito de .

Condición de numerabilidad de Mackey[14]

Supóngase que es un EVT metrizable localmente convexo y que es una secuencia contable de subconjuntos acotados de . Entonces, existe un subconjunto acotado de y una secuencia de números reales positivos tales que para todo .

Serie generalizada'

Como se describe en la sección de series generalizadas de este artículo, para cualquier familia indexada de vectores de un EVT , es posible definir su suma como el límite de la red de sumas parciales finitas , donde el dominio es dirigido por . Si y , por ejemplo, entonces la serie generalizada converge si y solo si converge incondicionalmente en el sentido habitual (que para números reales, es equivalente a convergencia absoluta). Si una serie generalizada converge en un EVT metrizable, entonces el conjunto es necesariamente numerable (es decir, finito o infinito numerable).[demo 1]​ En otras palabras, todos menos un número contable de serán cero, por lo que esta serie generalizada es en realidad una suma de un número contable de términos distintos de cero.

Aplicacións lineales

Si es un EVT pseudometrizable y asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de , entonces es continuo.[14]​ Existen funcionales lineales discontinuos en cualquier EVT pseudometrizable de dimensión infinita.[46]​ Por lo tanto, un EVT pseudometrizable es de dimensión finita si y solo si su espacio dual continuo es igual a su espacio dual.[46]

Si es una aplicación lineal entre EVT y es metrizable, entonces lo siguiente es equivalente:

  1. es continua;
  2. es una aplicación acotada (localmente) (es decir, asigna subconjuntos acotados (de von Neumann) de a subconjuntos acotados de );[12]
  3. es secuencialmente continua;[12]
  4. La imagen bajo de cada secuencia nula en es un conjunto acotado en el que,[12]​ por definición, una secuencia nula es una secuencia que converge al origen.
  5. asigna secuencias nulas a secuencias nulas.

Aplicaciones abiertas y casi abiertas

Teorema: Si es un EVT pseudometrizable completo, es un EVT de Hausdorff y es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces es una aplicación abierta.[47]
Teorema: Si es un operador lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexo sobre un espacio abarrilado (por ejemplo, cada espacio pseudometrizable completo es abarrilado), entonces es casi abierto.[47]
Teorema: Si es un operador lineal sobreyectivo de un EVT sobre un espacio de Baire , entonces es casi abierto.[47]
Teorema: Supóngase que es un operador lineal continuo de un EVT pseudometrizable completo sobre un EVT de Hausdorff. Si la imagen de no es un conjunto escaso en , entonces es un aplicación abierta sobreyectiva, e es un espacio metrizable completo.[47]

Propiedad de ampliación de Hahn-Banach

Un subespacio vectorial de un EVT tiene la propiedad de extensión si cualquier funcional lineal continuo en se puede extender a un funcional lineal continuo en .[22]​ Se puede decir que un EVT tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach (PEHB) si cada subespacio vectorial de tiene la propiedad de extensión.[22]

El teorema de Hahn–Banach garantiza que cada espacio localmente convexo de Hausdorff tenga la PEHB. Para EVT completamente metrizables existe un proceso inverso:

Teorema

Todo EVT metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo.[22]

Si un espacio vectorial tiene una dimensión incontable y si se dota con la mejor topología vectorial, entonces este es un EVT con PEHB que no es localmente convexo ni metrizable.[22]

Véase también

Notas

  1. De hecho, esto es cierto para el grupo topológico, ya que la prueba no utiliza multiplicaciones escalares.
  2. No se supone que sea invariante a la traslación.

Demostraciones

  1. Supóngase que la red converge a algún punto en un EVT metrizable , donde se recuerda que el dominio de esta red es el conjunto dirigido . Como toda red convergente, esta red convergente de sumas parciales es una red, lo que en este caso particular significa que (por definición) para cada entorno del origen en , existe un subconjunto finito de tal que para todos los superconjuntos finitos . Esto implica que por cada (tomando y ). Dado que es metrizable, tiene una base de vecindad contable en el origen, cuya intersección es necesariamente (ya que es un EVT de Hausdorff). Para cada entero positivo , se elige un subconjunto finito tal que para cada . Si pertenece a , entonces pertenece a . Por tanto, para cada índice que no pertenece al conjunto numerable .

Referencias

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Bibliografía