Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo, se define el espacio dual como el conjunto de todas las aplicaciones lineales, es decir, aplicaciones lineales de a valores escalares (en este contexto, un escalar es un miembro del cuerpo-base ).
El propio se convierte en un espacio vectorial sobre bajo las siguientes definiciones ("punto a punto") de suma y producto por escalares:
Si se interpreta como espacio de columnas de números reales, su espacio dual se escribe típicamente como el espacio de filas de números. Tal fila actúa en como funcional lineal por la multiplicación ordinaria de matrices.
Si consiste en el espacio de los vectores geométricos (flechas) en el plano, entonces los elementos del dual V* se pueden intuitivamente representar como colecciones de líneas paralelas. Tal colección de líneas se puede aplicar a un vector para dar un número de la manera siguiente: se cuenta cuántas de las líneas cruzan el vector.
Considérese el espacio (infinito-dimensional) , cuyos elementos son las sucesiones de números reales que tienen una cantidad finita de entradas diferentes de cero. El dual de este espacio es , el espacio de todas las secuencias de números reales. Tal secuencia se aplica a un elemento para dar .
Si la dimensión de es finita, entonces tiene la misma dimensión que . Si es una base de , entonces existe una única base de , llamada base dual asociada, que verifica:
Si es infinito-dimensional, entonces la construcción antedicha no produce una base de .
Espacio bidual (doble-dual) y teorema de reflexividad
A partir del espacio dual , definimos el espacio bidual como el conjunto de todas las aplicaciones lineales de en . Un importante resultado del espacio bidual es el siguiente:
Teorema de reflexividad
Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo . Sea su espacio dual y su espacio bidual.
Cada forma lineal se define de la siguiente manera:
donde es una forma lineal del espacio dual.
Se verifica que es lineal e inyectiva. Además, si es de dimensión finita, se verifica que es un isomorfismo.
Para demostrar el teorema, necesitamos un lema previo:
Lema
Dados dos vectores tales que , existe al menos una forma lineal tal que
Demostración del lema
El enunciado a demostrar es equivalente al siguiente enunciado:
Dado tal que , existe tal que .
Tomamos el subespacio vectorial generado por v, , y sea el subespacio suplementario del anterior. Como los anteriores subespacios son suplementarios, tenemos lo siguiente: y deducimos que .
Ahora tomamos el paso al cociente y obtenemos que es de dimensión 1, como podemos comprobar a continuación:
Como la dimensión del espacio cociente es uno y como sabemos por hipótesis que podemos construir una base de con la clase de equivalencia de . Tenemos que , luego los elementos son de la forma . Definimos la siguiente aplicación lineal:
y podemos realizar una composición de aplicaciones con el paso al cociente y la aplicación lineal que acabamos de definir:
, definimos .
Luego es una composición de aplicaciones lineales, por lo tanto debe de ser también una aplicación lineal. Finalmente, hemos encontrado la aplicación lineal que verifica el enunciado a demostrar:
Demostración del teorema de reflexividad
Veamos que es una forma lineal de , para ello basta ver que verifica las propiedades de una aplicación lineal. Sean , veamos que:
luego es lineal.
A continuación veamos que es también lineal. Sean , veamos que .
Esta igualdad es equivalente a
Desarrollando el primer miembro:
y desarrollando el segundo miembro:
obtenemos cosas idénticas, por lo que hemos demostrado que la aplicación es lineal.
Como , por el lema anterior, existe tal que . Ahora por la definición de tenemos lo siguiente:
y como sabemos que es cierto, deducimos que por lo que hemos demostrado que es inyectiva.
Por último veamos que si es finito-generado entonces es un isomorfismo.
Como es finito-generado, . También sabemos que luego también es finito-generado y su dimensión es la misma que la de . Como es lineal e inyectiva podemos deducir lo siguiente:
, por ser una aplicación lineal.
, por ser inyectiva.
De las igualdades anteriores deducimos que y como finalmente deducimos que , por lo que es epiyectiva.
Tenemos que es lineal, inyectiva y epiyectiva luego es un isomorfismo, que es lo que queríamos demostrar.
Si la función lineal es representada por la matriz con respecto a dos bases de y , entonces es representada por la matriz transpuesta con respecto a las respectivas bases duales de y de .
Si y son dos aplicaciones lineales, se tiene .
La asignación genera un homomorfismoinyectivo entre el espacio de operadores lineales de a y el espacio de operadores lineales de a . Este homomorfismo es un isomorfismo si y sólo si es finito-dimensional o es trivial.
En el lenguaje de la teoría de las categorías, tomar el dual de los espacios vectoriales y la transpuesta de funciones lineales es por lo tanto un funtor contravariante de la categoría de los espacios vectoriales sobre F a sí misma.
Los productos bilineales y los espacios duales
Como vimos arriba, si V es finito-dimensional, entonces V es isomorfo a V*, solamente que el isomorfismo no es natural y depende de la base de V con que comenzamos. De hecho, cualquier isomorfismo Φ de V a V* define un producto bilineal no degenerado único en V por
y cada producto bilineal no degenerado en un espacio finito-dimensional da lugar inversamente a un isomorfismo de V a V*.
El espacio dual topológico
En el caso de espacios de dimensión finita, el dual topológico coincide con el dual algebraico y el concepto de dual topológico es trivial. Sin embargo, con espacios vectoriales de dimensión infinita el dual topológico generalmente es estrictamente más pequeño que el dual algebraico:
Al tratar con un espacio vectorial normadoV (e.g., un espacio de Banach o un espacio de Hilbert), típicamente se está interesado solamente en los funcionales lineales continuos del espacio en el cuerpo. Estos forman un espacio vectorial normado, llamado el dual continuo o dual topológico de V, a veces llamado solamente el dual de V. Es denotado por V' . La norma de una funcional lineal continua en V es definida por:
La definición anterior convierte al dual continuo o topológico en un espacio vectorial normado, de hecho en un espacio de Banach. Uno puede también hablar del continuo de un espacio vectorialtopológico arbitrario. Esto es sin embargo mucho más duro de tratar, ya que en general no será un espacio vectorial normado de ninguna manera natural.
La definición anterior puede generalizarse un poco, dado un espacio vectorial topológico V se define el espacio dual topológico como el subespacio del dual algebraico formado por funciones continuas respecto a la topología de V.
Ejemplos
Para cualquier espacio vectorial normado o espacio vectorial topológico finito-dimensional, tal como el espacio euclidianon-dimensional, el dual continuo y el dual algebraico coinciden.
Sea 1 < p < ∞ un número real y considere el espacio de Banach [[lp]] de todas las secuenciasa = (an) para las que
es finito. Defínase el número q por 1/p + 1/q = 1. Entonces el dual continuo lp se identifica naturalmente con lq: dado un elemento φ de (lp)', el elemento correspondiente de lq es la secuencia (φ(en)) donde en denota la secuencia cuyo término n-ésimo es 1 y todos los demás son cero. Inversamente, dado un elemento a = (an) ∈ lq, el funcional lineal continuo correspondiente φ en lp es definido por φ(b) = Σnanbn para toda b = (bn) ∈ lp (véase la desigualdad de Hölder).
De una manera similar, el dual continuo de l¹ se identifica naturalmente con l∞. Además, el dual continuo de los espacios de Banach c (que consisten en todas las series convergentes, con la norma del supremo) y c0 (las secuencias que convergen a cero) son ambas identificadas naturalmente con l¹.
Otro ejemplo interesante es el dual topológico de las funciones suaves de soporte compacto cuyo dual topológico son precisamente las distribuciones convencionales o funciones generalizadas.
Otras propiedades
Si V es un espacio de Hilbert, entonces su dual continuo es un espacio de Hilbert que es contra-isomorfo a V. Éste es el contenido del teorema de representación de Riesz, y da lugar a la notación bra-ket usada por los físicos en la formulación matemática de la mecánica cuántica. En analogía con el caso del doble dual algebraico, hay siempre un operador lineal continuo inyectivo naturalmente definido Ψ: V → V'' en su doble dual continuo V''. Esta función es de hecho una isometría, significando ||Ψ(x)||=||x|| para todo x en V. Espacios para los cuales la función Ψ es una biyección se llaman reflexivos. El dual continuo se puede utilizar para definir una nueva topología en V, llamada la topología débil. Si el dual de V es separable, entonces así es el espacio V mismo. El inverso no es verdad; el espacio l¹ es separable, pero su dual es l∞, que no es separable.