Wu-Mannigfaltigkeit

Die Wu-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Lie-Theorie eine als Quotientenraum von Lie-Gruppen definierte 5-Mannigfaltigkeit. Eine besondere Rolle spielt die Mannigfaltigkeit durch ihre besonderen Eigenschaften in der Algebraischen Topologie, Kobordismustheorie und Spin-Geometrie. Benannt und erstmals untersucht wurde die Mannigfaltigkeit vom chinesischen Mathematiker Wu Wenjun.

Definition

Die speziellen orthogonalen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ lässt sich kanonisch in die spezielle unitäre Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ einbetten. Der Orbitraum:

${\displaystyle W:=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)}$

ist die Wu-Mannigfaltigkeit.[1][2]

Eigenschaften

• ${\displaystyle W}$ ist eine einfach zusammenhängende rationale Homologiesphäre (mit nichttrivialen Homologiegruppen ${\displaystyle H_{0}(W)\cong \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle H_{2}(W)\cong \mathbb {Z} _{2}}$ und ${\displaystyle H_{5}(W)\cong \mathbb {Z} }$), welche keine Homologiesphäre ist.
• ${\displaystyle W}$ hat die Kohomologiegruppen:[1]

  ${\displaystyle H^{0}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

  ${\displaystyle H^{1}(W;\mathbb {Z} _{2})=1}$

  ${\displaystyle H^{2}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

  ${\displaystyle H^{3}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

  ${\displaystyle H^{4}(W;\mathbb {Z} _{2})=1}$

  ${\displaystyle H^{5}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

• ${\displaystyle W}$ ist der Generator des orientierten Kobordismusringes ${\displaystyle \Omega _{5}^{\operatorname {SO} }\cong \mathbb {Z} _{2}}$.[1][2]
• ${\displaystyle W}$ ist eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit, welche keine Spinᶜ-Struktur besitzt.

Weblinks

• Wu manifold auf nLab (englisch)

Einzelnachweise

1. Diamuid Crowley: 5-manifolds: 1-connected. (PDF) In: Bulletin of the Manifold Atlas. 2011, S. 49–55, abgerufen am 10. Juni 2024 (englisch). 
2. Arun Debray: Characteristic classes. Archiviert vom Original am 7. Januar 2021; abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).