Spezielle unitäre Gruppe

Die spezielle unitäre Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ besteht aus den unitären n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der reellen Dimension ${\displaystyle n^{2}-1,}$ insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Ferner ist sie eine Untergruppe der unitären Gruppe ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ sowie der speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$.

Lie-Algebra

Die zu ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ korrespondierende Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ entspricht dem Tangentialraum am Einselement der Gruppe. Sie besteht aus dem Raum aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur 0. Die surjektive Abbildung

${\displaystyle f\colon {\mathfrak {su}}(n)\to \mathrm {SU} (n),\quad \quad g\mapsto \exp {g}}$

bildet ein Element der Lie-Algebra auf die Gruppe ab.

Zentrum

Das Zentrum von ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ besteht aus allen Vielfachen ${\displaystyle \xi E_{n}}$ der Einheitsmatrix ${\displaystyle E_{n}}$, die in ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ liegen. Da ${\displaystyle \det(\xi E_{n})=\xi ^{n}=1}$, müssen diese Vielfachen ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzeln sein. Daher ist das Zentrum isomorph zur Restklassengruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.

Bedeutung in der Physik

Die spezielle unitäre Gruppe spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik, da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$-Symmetrien aufweist. So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)}$ gegeben (wobei sich die drei Faktoren auf unterschiedliche Freiheitsgrade beziehen, nämlich Farbe, Flavour und elektrische Ladung). Darüber hinaus gibt es die näherungsweise gültige ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)}$-Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen, die aus den „leichten“ up-, down- und strange-Quarks bestehen (die Massen dieser Quarks werden vernachlässigt, die drei „schweren“ Quarks werden von dieser Gruppe nicht beschrieben).

Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)}$.

Die Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ist zugleich die sogenannte Doppelgruppe der gewöhnlichen Drehgruppe ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ im dreidimensionalen Raum:

SU(2) als „Überlagerung“ der Drehgruppe SO(3)

Die SU(2), die Gruppe der „komplexen Drehungen“ des zweidimensionalen komplexen Raumes ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, mit Hauptanwendungen in der Quantenmechanik (→ Spindrehimpuls), wird von den drei Pauli-Matrizen ${\displaystyle \sigma _{i}}$ erzeugt. Sie ist die zweiblättrige Überlagerungsgruppe der SO(3), der Drehgruppe des dreidimensionalen reellen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, die von den Ortsdrehimpulsen erzeugt wird. Es gilt mit der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$:

${\displaystyle \mathrm {SU} (2)=\left\{\left.\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{2}}{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right|{\vec {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{3}\right\}}$ mit reellen Vektorkomponenten ${\displaystyle \,\alpha _{1},\,\alpha _{2}}$ und ${\displaystyle \,\alpha _{3}}$, den „Drehwinkeln“  (${\displaystyle \,\alpha _{3}}$ durchläuft beispielsweise das Intervall ${\displaystyle [-2\pi ,+2\pi ]}$), und mit den in die drei Pauli-Matrizen umgewandelten Basiselementen der Quaternionen, also dem aus den drei 2×2-Pauli-Matrizen gebildeten formalen Drei-Vektor ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$  (in der Sprache der Physik: „dem doppelten(!)[1] Spindrehimpuls-Operator“). Der Punkt bedeutet das formale Skalarprodukt, ${\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\sigma }}=\alpha _{1}\sigma _{1}+\alpha _{2}\sigma _{2}+\alpha _{3}\sigma _{3}\,.}$ Der scheinbar nur physikalisch motivierte Faktor 1/2 hat mathematisch u. a. zur Folge, dass sich die Spinoren im Gegensatz zu Vektoren nicht schon bei Drehungen um ${\displaystyle 2\pi (=360^{\circ })}$, sondern erst bei dem doppelten  Wert reproduzieren. Dagegen erhält man die gewöhnliche Drehgruppe im dreidimensionalen reellen Raum, die SO(3), indem man ${\displaystyle {\vec {\sigma }}/2}$ durch den Ortsdrehimpuls-Operator ${\displaystyle {\vec {\mathcal {L}}}}$ ersetzt (ausgedrückt durch Differentialquotienten, z. B. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}={\tfrac {\partial }{\mathrm {i} \,\partial \varphi }}}$). Dabei wurde ${\displaystyle \hbar }$, die reduzierte Plancksche Konstante, wie üblich durch Eins ersetzt, und ${\displaystyle \varphi }$ ist der Azimutalwinkel (Drehung um die z-Achse). Jetzt reicht die Drehung um 360 ^o aus, um eine gewöhnliche Funktion – statt eines Spinors – zu reproduzieren.

In analoger Weise wird die SU(3), die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik, von den acht Gell-Mann-Matrizen erzeugt. Die Drehgruppe im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, die SO(4), passt in diesem Fall schon aus Dimensionsgründen nicht zur SU(3), sondern es gilt SO(4) = SU(2) × SU(2) (siehe erneut den Artikel Quaternionen).

Literatur

Lehrbücher

• Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Vieweg, Braunschweig u. a. 1999, ISBN 3-528-06432-3.
• Nicolas Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42650-7, Chapters 4–6.
• Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 98). Corrected 2nd printing. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-13678-9.
• Walter Pfeifer: The Lie Algebras su(N). An Introduction. Birkhäuser, Basel u. a. 2003, ISBN 3-7643-2418-X.

Artikel

• Jonathan L. Rosner: An Introduction to Standard Model Physics. TASI 1987, Scanned version from KEK.
• Erhard Scholz: Introducing Groups into Quantum Theory (1926–1930). arxiv:math.HO/0409571

Weblinks

• Eric Weisstein: Special Unitary Group. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise und Kommentare

1. Dass nicht ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$, sondern ${\displaystyle {\vec {\sigma }}/2}$ der Spindrehimpuls-Operator ist, ergibt sich u. a. aus der zugehörigen Lie-Algebra, der Drehimpulsalgebra.