Whitehead-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist die Whitehead-Mannigfaltigkeit ein Beispiel einer kontrahierbaren 3-Mannigfaltigkeit, die nicht homöomorph zum euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist.

J. H. C. Whitehead hatte 1934 einen Beweis der Poincaré-Vermutung veröffentlicht[1], in dem er zunächst bewiesen haben wollte, dass jede kontrahierbare 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist, woraus er die Poincaré-Vermutung (jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur ${\displaystyle S^{3}}$) erhielt. Im Folgejahr entdeckte er einen Fehler in seinem Beweis und das Beispiel der Whitehead-Mannigfaltigkeit[2]. Diese ist kontrahierbar, aber nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen, womit sie nicht homöomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ sein kann und seine erste Behauptung widerlegt.

Konstruktion

Konstruiere eine Folge ${\displaystyle W_{i}}$ von in der 3-Sphäre ${\displaystyle S^{3}}$ eingebetteten Volltori wie folgt.

1. Schritt: ${\displaystyle W_{1}}$ ist ein unverknoteter Volltorus in ${\displaystyle S^{3}}$.

2. Schritt: ${\displaystyle W_{2}}$ ist in ${\displaystyle W_{1}}$ so eingebettet, dass der Kern von ${\displaystyle W_{2}}$ mit dem Meridian von ${\displaystyle W_{1}}$ eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

i. Schritt: ${\displaystyle W_{i+1}}$ ist in ${\displaystyle W_{i}}$ so eingebettet, dass der Kern von ${\displaystyle W_{i+1}}$ mit dem Meridian von ${\displaystyle W_{i}}$ eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement der Schnittmenge ${\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}}$ in ${\displaystyle S^{3}}$, oder äquivalent die Vereinigungsmenge ${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }N_{i}}$ mit ${\displaystyle N_{i}=S^{3}\setminus W_{i}}$.

Topologische Eigenschaften

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle W}$ ist kontrahierbar und ${\displaystyle W\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4}}$,

Sie ist nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen. Ihre Ein-Punkt-Kompaktifizierung ist der Quotient von ${\displaystyle S^{3}}$, wenn alle Punkte aus ${\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}}$ miteinander identifiziert werden.

Sie ist die Vereinigung zweier Kopien des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, deren Durchschnitt ebenfalls homöomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist.[3]

Differentialgeometrie

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit trägt keine vollständige Riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung.[4]

Einzelnachweise

1. J. H. C. Whitehead: Certain theorems about three-dimensional manifolds (I), Quarterly Journal of Mathematics 5, 308–320 (1934)
2. J. H. C. Whitehead: A certain open manifold whose group is unity, Quarterly Journal of Mathematics 6, 268–279 (1935)
3. David Gabai: The Whitehead manifold is a union of two Euclidean spaces, Journal of Topology 4, 529–534 (2011)
4. J. Wang: Contractible 3-manifold and Positive scalar curvature, ArXiv