Ungleichungen in Vierecken

Ungleichungen in Vierecken sind Ungleichungen, die verschiedene Größen in einem Viereck zueinander in Beziehung setzen. Die Ungleichungen gelten, wenn sich das Viereck im (ungekrümmten) Euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ befindet. ${\displaystyle a,b,c,d}$ bezeichnen im Folgenden die Seitenlängen, ${\displaystyle e,f}$ die Diagonallängen eines Vierecks.

Größen im Viereck

Verallgemeinerte Dreiecksungleichung

In jedem Viereck ist die Summe dreier beliebiger Seitenlängen größer als die vierte Seitenlänge:

${\displaystyle a+b+c>d,\quad b+c+d>a,\quad a+c+d>b,\quad a+b+d>c.}$

Daraus folgt:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\frac {d^{2}}{3}}}$

Ptolemäische Ungleichung

In jedem Viereck gilt die Ungleichung des Ptolemäus:

${\displaystyle a\cdot c+b\cdot d\geq e\cdot f}$.

Im Falle eines Sehnenvierecks gilt Gleichheit (Satz von Ptolemäus).

Ungleichung zwischen Umfang und Diagonalen

In jedem konvexen Viereck liegt die Summe der Diagonalenlängen zwischen dem halben und dem ganzen Umfang:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b+c+d)<e+f<a+b+c+d}$

Vierecksungleichung für Metriken

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Vierecksungleichung im metrischen Raum:

${\displaystyle {\Big |}d(x,y)-d(u,v){\Big |}\leq d(x,u)+d(v,y)}$.

Beweis:

Durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man:

${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)}$ bzw.

${\displaystyle d(u,v)\leq d(u,x)+d(x,y)+d(y,v)}$

Unter Verwendung der Eigenschaften von Metriken und absoluten Beträgen gilt dann

${\displaystyle {\Big |}d(x,y)-d(u,v){\Big |}=d(x,y)-d(u,v)\leq d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)-d(u,v)=d(x,u)+d(v,y)}$

falls ${\displaystyle d(x,y)-d(u,v)\geq 0}$ gilt bzw. im Fall ${\displaystyle d(x,y)-d(u,v)\leq 0}$

${\displaystyle {\Big |}d(x,y)-d(u,v){\Big |}=d(u,v)-d(x,y)\leq d(u,x)+d(x,y)+d(y,v)-d(x,y)=d(x,u)+d(v,y)}$

Siehe auch

• Parallelogrammgleichung

Literatur

• Oene Bottema et al: Geometric Inequalities. Wolters-Noordhoff Publishing, Gronigen 1969, S. 128–136 (Digitalisat)
• Martin Josefsson: A few Inequalities in Quadrilaterals. In: International Journal of Geometry, Band 4, Ausgabe 1, S. 11–15 (Digitalisat)
• Dragoslav S. Mitrinovic, J. Pecaric, V. Volenec: Recent Advances in Geometric Inequalities. Kluwer Academic Publishing, S. 401–412

Weblinks

Wikibooks: Beweis des Satzes des Ptolemäus – Lern- und Lehrmaterialien