UMD-Raum

Ein UMD-Raum (von englisch unconditional martingale difference space) ist in der Funktionalanalysis und der stochastischen Analysis ein Banach-Raum, in dem alle Martingal-Differenzenfolgen eines beliebigen endlichen Martingals unbedingt konvergente Reihen sind. Solche Räume besitzen viele der guten Eigenschaften eines Hilbert-Raumes und Martingal-Differenzfolgen teilen Eigenschaften von orthogonalen Folgen. Man sagt, dass Banach-Räume die UMD-Eigenschaft besitzen, wenn sie UMD-Räume sind.

Der Begriff wurde von den französischen Mathematiker Bernard Maurey und Gilles Pisier eingeführt. Motivation war es, eine genügend große Klasse von Banach-Räumen zu finden, so dass auch klassische Banach-Räume wie die L^p-Räume für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ enthalten sind, die Räume sich aber trotzdem wie Hilbert-Räume verhalten, deshalb lassen sich viele der Aussagen für Hilbert-Räume direkt auf UMD-Räume übertragen. Obwohl der UMD-Raum eine probabilistische Definition hat, stellt sich heraus, dass die UMD-Eigenschaft zu einigen analytischen Eigenschaften äquivalent ist, wie zum Beispiel, dass die Hilbert-Transformation auf ${\displaystyle L^{p}}$ beschränkt ist.

Um den Begriff des UMD-Raumes zu definieren, führt man zuerst den UMD${\displaystyle _{p}}$-Raum für ein ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ ein. Ein tiefes Resultat von Maurey und Pisier sagt dann, dass ein Banach-Raum, der ein UMD${\displaystyle _{p}}$-Raum für ein bestimmtes ${\displaystyle p}$ ist, auch ein UMD${\displaystyle _{q}}$-Raum für alle anderen ${\displaystyle q\in (1,\infty )}$ ist. Deshalb spricht man häufig nur von UMD-Räumen.[1]

Mit Hilfe von UMD-Räumen lässt sich die Itô-Isometrie auf Banach-Räume erweitern und folglich ergibt sich eine Theorie der stochastischen Integration bezüglich einer brownschen Bewegung für Banach-wertige Zufallsvariablen.[2][3]

UMD-Raum

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration ${\displaystyle \mathbb {F} }$ und ${\displaystyle (E,\|\cdot \|_{E})}$ ein Banach-Raum. Mit ${\displaystyle X\in L^{p}(\Omega ,E)}$ meinen wir ${\displaystyle \mathbb {E} [\|X\|_{E}^{p}]<\infty }$.

Grundbegriffe

• Eine Reihe ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ heißt unbedingt konvergent falls für jede Folge ${\displaystyle \left(\varepsilon _{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ mit ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,+1\},}$ die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}$

konvergiert.

• Sei ${\displaystyle (M_{n})_{n\in N}}$ ein ${\displaystyle E}$-wertiges ${\displaystyle \mathbb {F} }$-adaptiertes Martingal. ${\displaystyle (M_{n})_{n\in N}}$ ist ein ${\displaystyle L^{p}}$-Martingal, falls ${\displaystyle M_{n}\in L^{p}(\Omega ,E)}$ für alle ${\displaystyle n}$, das bedeutet

${\displaystyle \max \limits _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {E} \left[\|M_{n}\|_{E}^{p}\right]<\infty }$.

• Für ein Martingal ${\displaystyle (M_{n})_{n\in N}}$ ist die Martingal-Differenzfolge ${\displaystyle (dM_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ definiert als

${\displaystyle dM_{n}:=M_{n}-{M_{n-1}}}$

mit ${\displaystyle M_{0}=0}$. Ist ${\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ein ${\displaystyle L^{p}}$-Martingal, dann nennt man ${\displaystyle (dM_{n})_{n\in N}}$ eine ${\displaystyle L^{p}}$-Martingal-Differenzfolge.

Definition

Sei ${\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge mit ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,1\}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Ein Banach-Raum ${\displaystyle E}$ ist ein UMD_p-Raum, falls für ein ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ eine Konstante ${\displaystyle \beta }$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle E}$-wertigen ${\displaystyle L^{p}}$-Martingale-Differenzfolgen ${\displaystyle (dM_{n})_{n=1}^{N}}$ mit ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ und alle ${\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ die folgende Ungleichung gilt

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right]\leq \beta ^{p}\mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right].}$[1]

Erläuterungen

• Die in der Gleichung benützte Norm ist die Norm von ${\displaystyle E}$. Analog lässt sich die Gleichung auch mittels der ${\displaystyle L^{p}}$-Norm ${\displaystyle \|X\|_{L^{p}(\Omega ,E)}=\mathbb {E} [\|X\|_{E}^{p}]^{1/p}}$ schreiben.
• Die ${\displaystyle (dM_{n})}$ bilden eine unbedingt konvergente Basis in ${\displaystyle L^{p}}$.
• Ersetzt man ${\displaystyle dM_{n}}$ mit ${\displaystyle \varepsilon _{n}dM_{n}}$ erhält man die Umgekehrte-Gleichung

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right]\leq \beta ^{p}\mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right].}$

• Der Wahrscheinlichkeitsraum lässt sich durch einen beliebigen σ-endlichen Raum ersetzen.

p-Unabhängigkeit

Falls ${\displaystyle X}$ ein UMD${\displaystyle _{p}}$-Raum für ein ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ ist, dann ist ${\displaystyle X}$ auch ein UMD${\displaystyle _{q}}$-Raum für alle ${\displaystyle q\in (1,\infty )}$.

Eigenschaften

• Alle UMD-Räume sind reflexiv. Sie sind sogar super-reflexiv.
• Alle UMD-Räume sind K-konvex.

Beziehung zu singulären Integraloperatoren

Eine rein analytische Charakterisierung der UMD-Räume über die Hilbert-Transformation stammt von Burkholder ([4]) und Bourgain ([5]). Es sei ${\displaystyle E}$ ein beliebiger UMD-Raum und ${\displaystyle \mathbb {T} }$ der Torus. Dann bewiesen sie, dass die UMD${\displaystyle _{p}}$-Räume gerade diejenigen Räume sind, auf denen

• die Hilbert-Transformation auf ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,E)}$ beschränkt ist,
• die Riesz-Projektion auf ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {T} ,E)}$ beschränkt ist,

und somit sind sie auch für alle ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ beschränkt.

Existenz einer symmetrischen, bikonvexen Funktion

Folgendes ist äquivalent:[5]

1. ${\displaystyle X}$ ist ein UMD-Raum
2. Es existiert eine symmetrische, bikonvexe Funktion ${\displaystyle \zeta }$ auf ${\displaystyle X\times X}$, so dass ${\displaystyle \zeta (0,0)>0}$ und ${\displaystyle \zeta (x,y)\leqq \|x+y\|_{E}}$ falls ${\displaystyle \|x\|_{E}\leq 1\leq \|y\|_{E}}$

Beispiele

Folgende Räume sind u. a. UMD-Räume:[6]

• alle endlich-dimensionalen Räume
• alle Hilbert-Räume
• die ${\displaystyle L^{p}}$-Räume für ${\displaystyle 1<p<\infty }$
• die Sobolew-Räume für ${\displaystyle 1<p<\infty }$
• die Schatten-Klassen für ${\displaystyle 1<p<\infty }$
• reflexive Besov-Räume
• reflexive Birnbaum-Orlicz-Räume

Räume ohne UMD-Eigenschaft

• Alle nicht-reflexiven Räume (${\displaystyle L^{1}(S)}$, ${\displaystyle C(S)}$ usw. für ein σ-endlicher Raum ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$)

Literatur

• Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 267–372, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4. 
• Gilles Pisier: Martingales in Banach Spaces. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2016, S. 151–217, doi:10.1017/CBO9781316480588. 

Einzelnachweise

1. Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 267–372, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4. 
2. J. M. A. M. van Neerven, M. C. Veraar und L. Weis: Stochastic integration in UMD Banach spaces. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 35, Nr. 4, 2007, S. 1438 - 1478, doi:10.1214/009117906000001006. 
3. Zdzislaw Brzezniak, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Itô's formula in UMD Banach spaces and regularity of solution of the Zaka equation. In: Journal of Differential Equations. Band 245, Nr. 1, 2008, S. 30–58, doi:10.1016/j.jde.2008.03.026. 
4. Burkholder, D.L.: A geometric condition that implies the existence of certain singular integrals of Banach-space-valued functions. In: Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, vol. I, II (Chicago, Ill., 1981), pp. 270–286, Wadsworth Math. Ser., Wadsworth (1983)
5. J. Bourgain: Some remarks on Banach spaces in which martingale difference sequences are unconditional. In: Ark. Mat. Band 21, Nr. 1-2, 198, S. 163 - 168, doi:10.1007/BF02384306. 
6. Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 356, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.