Das Trigondodekaeder Drahtgittermodell eines TrigondodekaedersDas Trigondodekaeder (auch Pyramidentetraeder ) ist ein Polyeder mit zwölf kongruenten gleichseitigen Dreiecken als Flächen, 8 Ecken und 18 Kanten. An vier der Ecken grenzen fünf Kanten und an die anderen vier Ecken grenzen vier Kanten an.
Es ist ein Deltaeder und der Johnson-Körper J84 von 92, die alle nach dem Mathematiker Norman Johnson benannt sind.
Kartesische Koordinaten
Die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte können lauten, bei Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge 2:
(
0
,
±
1
,
p
)
(
±
r
,
0
,
q
)
(
0
,
±
r
,
−
q
)
(
±
1
,
0
,
−
p
)
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&(&0,&&\;\pm 1,&&\;p&)\\&(&\pm r,&&\;0,&&\;q&)\\&(&0,&&\;\pm r,&&\;-q&)\\&(&\pm 1,&&\;0,&&\;-p&)\end{alignedat}}}
Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
r
2
+
(
p
−
q
)
2
=
3
{\displaystyle r^{2}+(p-q)^{2}=3}
(
r
−
1
)
2
+
(
p
+
q
)
2
=
4
{\displaystyle (r-1)^{2}+(p+q)^{2}=4}
r
2
+
2
q
2
=
2
{\displaystyle r^{2}+2q^{2}=2}
Daraus folgt:
p
=
1
2
(
3
+
2
r
−
r
2
+
3
−
r
2
)
≈
1
,
57
{\displaystyle p={\frac {1}{2}}({\sqrt {3+2r-r^{2}}}+{\sqrt {3-r^{2}}})\approx 1{,}57}
q
=
1
2
(
3
+
2
r
−
r
2
−
3
−
r
2
)
=
2
−
r
2
2
{\displaystyle q={\frac {1}{2}}({\sqrt {3+2r-r^{2}}}-{\sqrt {3-r^{2}}})={\sqrt {\frac {2-r^{2}}{2}}}}
q
=
x
≈
0,411
123
{\displaystyle q={\sqrt {x}}\approx 0{,}411123}
2
x
3
+
11
x
2
+
4
x
−
1
=
0
{\displaystyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1=0}
r
≈
1,289
169
{\displaystyle r\approx 1{,}289169}
r
3
−
3
r
2
−
4
r
+
8
=
0
{\displaystyle r^{3}-3r^{2}-4r+8=0}
Aus den Koordinaten ergibt sich, dass ein minimaler Quader, der den Körper einschließt, die Form einer Quadratischen Säule mit einer Höhe von
2
p
{\displaystyle 2p}
r
2
{\displaystyle r{\sqrt {2}}}
Hüllkörper kein Würfel ist, besitzt das Trigondodekaeder weder eine Umkugel noch eine Inkugel oder Kantenkugel .
Körpernetz eines Trigondodekaeders
Größen eines Trigondodekaeders mit Kantenlänge a
Volumen
V
=
r
12
a
3
(
6
3
−
r
2
+
r
4
−
2
r
2
)
{\displaystyle V={\frac {r}{12}}a^{3}\left(6{\sqrt {3-r^{2}}}+r{\sqrt {4-2r^{2}}}\right)}
Oberflächeninhalt
A
O
=
3
a
2
3
{\displaystyle A_{O}=3a^{2}{\sqrt {3}}}
1. Flächenwinkel
cos
α
1
=
1
3
(
3
−
2
r
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{1}={\frac {1}{3}}\left(3-2r^{2}\right)}
2. Flächenwinkel
cos
α
2
=
1
3
(
1
−
2
r
)
=
1
3
(
4
q
2
−
1
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {1}{3}}\left(1-2r\right)={\frac {1}{3}}\left(4q^{2}-1\right)}
3. Flächenwinkel
cos
α
3
=
2
3
(
1
−
p
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{3}={\frac {2}{3}}\left(1-p^{2}\right)}
Sphärizität
Ψ
=
36
π
V
2
3
A
O
{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{36\,\pi \,V^{2}}}{A_{O}}}}
Siehe auch
Weblinks
![{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{36\,\pi \,V^{2}}}{A_{O}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec251eed3703de8e8398a639d1b20c85619aed1)
