Thom-Vermutung

Die Thom-Vermutung ist in der Mathematik eine inzwischen bewiesene, auf René Thom zurückgehende Vermutung über Flächen in der komplex-projektiven Ebene. Die Vermutung und ihre Verallgemeinerung auf symplektische Mannigfaltigkeiten waren eine wichtige Motivation bei der Entwicklung analytisch-topologischer Methoden wie den Seiberg-Witten-Invarianten.

Hintergrund

Glatte algebraische Kurven ${\displaystyle C}$ in der komplex-projektiven Ebene sind gegeben durch homogene Polynome. Sie sind komplex 1-dimensionale Mannigfaltigkeiten, also topologische Flächen. Das Geschlecht einer durch ein Polynom vom Grad ${\displaystyle d}$ gegebenen algebraischen Kurve berechnet sich nach der Formel

${\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2}$.

Vermutung

Die nach René Thom benannte Thom-Vermutung besagt: Wenn ${\displaystyle \Sigma }$ eine in die komplex-projektive Ebene eingebettete differenzierbare Fläche ist, die dieselbe Homologieklasse repräsentiert wie eine durch ein homogenes Polynom vom Grad ${\displaystyle d}$ gegebene glatte algebraische Kurve, dann erfüllt das Geschlecht ${\displaystyle g}$ der Fläche ${\displaystyle \Sigma }$ die Ungleichung

${\displaystyle g\geq (d-1)(d-2)/2}$.

Insbesondere ist jede algebraische Kurve ${\displaystyle C}$ eine Fläche minimalen Geschlechts (Thurston-Norm-minimierende Fläche) in ihrer Homologieklasse.

Man sieht leicht, dass die 2. Homologie der komplex-projektiven Ebene isomorph zu den ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist, glatte algebraische Kurven vom Geschlecht ${\displaystyle d}$ entsprechen unter diesem Isomorphismus der Zahl ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} }$. Die Thom-Vermutung berechnet also die Thurston-Norm (das minimale Geschlecht) für alle Homologieklassen in ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {C} P^{2})}$.

Beweis

Wenige Wochen nachdem Edward Witten die Seiberg-Witten-Invarianten in die Mathematik eingeführt hatte, bewiesen Kronheimer–Mrowka im Oktober 1994 die Thom-Vermutung mit Hilfe dieser neuen Invarianten.[1]

Verallgemeinerung

Die symplektische Thom-Vermutung besagt, dass symplektische Flächen in symplektischen 4-Mannigfaltigkeiten Flächen minimalen Geschlechts in ihrer Homologieklasse sind. Die Thom-Vermutung ist ein Spezialfall, weil die glatten algebraischen Kurven symplektische Untermannigfaltigkeiten bzgl. der kanonischen symplektischen Struktur auf der komplex-projektiven Ebene sind.

Die symplektische Thom-Vermutung wurde mit Hilfe von Seiberg-Witten-Invarianten durch Morgan–Szabó–Taubes für symplektische Flächen nichtnegativer Selbstschnittzahl bewiesen.[2] Den allgemeinen Beweis für die symplektische Thom-Vermutung gaben schließlich Ozsváth und Szabó ebenfalls mit Hilfe von Seiberg-Witten-Invarianten.[3]

Es ist allerdings im Allgemeinen eine schwierige Frage, welche Homologieklassen einer symplektischen Mannigfaltigkeit sich durch symplektische Untermannigfaltigkeiten repräsentieren lassen.

Einzelnachweise

1. Kronheimer, P. B.; Mrowka, T. S.: The genus of embedded surfaces in the projective plane. Math. Res. Lett. 1 (1994), no. 6, 797–808
2. Morgan, J. W.; Szabó, Z.; Taubes, C. H.: A product formula for the Seiberg-Witten invariants and the generalized Thom conjecture. J. Differential Geom. 44 (1996), no. 4, 706–788
3. Ozsváth, P.; Szabó, Z.: The symplectic Thom conjecture. Ann. of Math. (2) 151 (2000), no. 1, 93–124