Satz von Mazur-Ulam

In der Mathematik ist der Satz von Mazur-Ulam ein Lehrsatz aus der Geometrie normierter Vektorräume.

Er besagt, dass eine surjektive Isometrie ${\displaystyle f\colon V\to W}$ zwischen normierten Vektorräumen eine affine Abbildung sein muss.

Für (nicht notwendig surjektive) Isometrien des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und allgemeiner strikt konvexer Räume ist der Satz offensichtlich wahr: Für zwei Vektoren ${\displaystyle v_{0},v_{1}\in V}$ ist ${\displaystyle \Vert f(v_{1})-f(v_{0})\Vert =\Vert v_{1}-v_{0}\Vert =:r}$ und für jedes ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$ ist ${\displaystyle v_{t}:=tv_{1}+(1-t)v_{0}}$ der einzige Vektor mit ${\displaystyle \Vert v_{t}-v_{0}\Vert =rt,\Vert v_{1}-v_{t}\Vert =r(1-t)}$. Weil ${\displaystyle f}$ eine Isometrie ist, muss ${\displaystyle f(v_{t})}$ der eindeutige Vektor mit ${\displaystyle \Vert f(v_{t})-f(v_{0})\Vert =rt,\Vert f(v_{1})-f(v_{t})\Vert =r(1-t)}$ sein, also ${\displaystyle f(v_{t})=tf(v_{1})+(1-t)f(v_{0})}$. (Diese Eindeutigkeit gilt, wenn der normierte Vektorraum strikt konvex ist.) Damit ist ${\displaystyle f}$ affin. Dieser elementare Beweis funktioniert nicht mehr für Isometrien beliebiger normierter Vektorräume. In diesem allgemeinen Fall wurde der Satz 1932 von Stanisław Mazur und Stanislaw Ulam bewiesen.

Literatur

• S. Mazur, S. Ulam: Sur les transformations isométriques d'espaces vectoriels normés. C. R. Acad. Sci. Paris. 194: 946–948 (1932)