Der Punkt-in-Polygon-Test nach Jordan prüft, ob ein bestimmter Punkt in der Ebene innerhalb, außerhalb oder an der Grenze eines Polygons liegt.
Nach dem Jordanschen Kurvensatz teilen, vereinfacht gesagt, die Ränder eines Polygons den Datenraum in eine Innen- und eine Außenseite. Für viele Anwendungen ist es nötig, herauszufinden, ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb eines Polygons liegt.
Bei der Strahl-Methode wird von dem zu testenden Punkt ein Strahl in eine beliebige Richtung versendet. Dabei wird gezählt, wie oft der Strahl die Kanten des Polygons schneidet. Es können vier Fälle unterschieden werden:
Ist die Anzahl ungerade, liegt der Punkt innerhalb des Polygons, ist sie gerade, liegt er außerhalb. Im Fall von unendlich vielen Schnittpunkten verlief der Strahl direkt auf einer Kante. Der Test muss dann mit einem anderen Winkel wiederholt werden. Durch eine verfeinerte Betrachtung der relativen Lage des Testpunktes und der Kantenenden im kollinearen Fall kann jedoch auf solch eine Wiederholung mit einem anderen Winkel verzichtet werden.
Pseudocode
Der folgende Pseudocode[1] zählt die Schnittpunkte entlang dem horizontal nach rechts gerichteten Strahl mit besonderer Beachtung der auf dem Strahl liegenden Ecken:
Hinweis: Gemäß der Beschreibung des Rückgabewertes der FunktionKreuzProdTest wird bei Delta > 0 der Wert zurückgegeben. Wenn stattdessen das Vorzeichen von Delta zurückgegeben wird, liefert die Funktion PunktInPolygon auch das korrekte Ergebnis. In diesem Fall werden die Schnittpunkte der Kanten mit einem von nach links verlaufenden Strahl gezählt.
Programmierung
Das folgende Beispiel in der ProgrammierspracheC# zeigt die Implementierung des Algorithmus. Die Punkte und die konvexe Hülle werden auf dem Hauptfenster gezeichnet. Das Programm verwendet mehrere Klassen. Bei der Ausführung des Programms wird die MethodeMain verwendet, die das Ergebnis auf der Konsole ausgibt.[2][3]
usingSystem;usingSystem.Drawing;// Diese Methode gibt true zurück, wenn der Punkt innerhalb des Polygons liegt, sonst falseprivatestaticboolIsInside(Point[]polygon,Pointpoint){boolisInside=false;for(inti=0;i<polygon.Length;i++)// Diese for-Schleife durchläuft alle Ecken des Polygons{intj=(i+1)%polygon.Length;// Index der nächsten Eckeif(polygon[i].Y<point.Y&&polygon[j].Y>=point.Y||polygon[j].Y<point.Y&&polygon[i].Y>=point.Y){if((point.Y-polygon[i].Y)*(polygon[j].X-polygon[i].X)<(point.X-polygon[i].X)*(polygon[j].Y-polygon[i].Y))// Wenn der Strahl die Kante schneidet, Rückgabewert zwischen true und false wechseln{isInside=!isInside;}}}returnisInside;}// Hauptmethode, die das Programm ausführtpublicstaticvoidMain(String[]args){intx1=0,y1=0,x2=100,y2=100;// Setzt die Koordinaten der Eckpunkte der quadratischen FlächeRandomrandom=newRandom();// Initialisiert den ZufallsgeneratorintnumberOfVertices=10;Point[]polygon=newPoint[numberOfVertices];// Deklariert ein Array für die Ecken des Polygonsfor(inti=0;i<numberOfVertices;i++)// Diese for-Schleife erzeugt 10 zufällige Ecken innerhalb der quadratischen Fläche{Pointpoint=newPoint();point.X=(int)(random.NextDouble()*(x2-x1)+x1);point.Y=(int)(random.NextDouble()*(y2-y1)+y1);polygon[i]=point;// Fügt die Ecke dem Polygon hinzu}// Erzeugt einen zufälligen Punkt innerhalb der quadratischen FlächePointrandomPoint=newPoint();randomPoint.X=(int)(random.NextDouble()*(x2-x1)+x1);randomPoint.Y=(int)(random.NextDouble()*(y2-y1)+y1);stringtext="Liegt der Punkt ("+randomPoint.X+", "+randomPoint.Y+") innerhalb des Polygons mit den Ecken ";for(inti=0;i<numberOfVertices-1;i++){text+="("+polygon[i].X+", "+polygon[i].Y+"), ";}text+="("+polygon[numberOfVertices-1].X+", "+polygon[numberOfVertices-1].Y+") ?";Console.WriteLine(text);// Ausgabe der Koordinaten auf der Konsoleif(IsInside(polygon,randomPoint))// Aufruf der Methode{Console.WriteLine("Ja");// Ausgabe auf der Konsole}else{Console.WriteLine("Nein");// Ausgabe auf der Konsole}Console.ReadLine();}
Norbert Bartelme: Geoinformatik: Modelle, Strukturen, Funktionen. 2005, ISBN 3-540-20254-4, S. 103.
Einzelnachweise
↑vgl.
Jeff Erickson: The Jordan Polygon Theorem. In: Computational Topology. Vorlesungsskript. 2009 (online [PDF; 144kB; abgerufen am 13. Februar 2018] S. 3 – dort fehlt der Fall eines Testpunkts auf einer horizontalen Kante).