Strahl (Geometrie)

Ein Strahl bzw. eine Halbgerade ist in der Geometrie – anschaulich gesprochen – eine gerade Linie, die auf einer Seite begrenzt ist, sich aber auf der anderen Seite ins Unendliche erstreckt.

• Eine Halbgerade ist ein geometrisches Objekt, das entsteht, wenn ein Punkt eine Gerade, auf der er liegt, teilt. Dabei ist der Punkt wahlweise Teil der Halbgeraden oder nicht.
• Ein Strahl verfügt über eine Orientierung: Er geht von einem Anfangspunkt aus.

Strahlen und Halbgeraden müssen demnach unterschieden werden von Geraden, die beidseitig unbegrenzt sind, und von Strecken, die auf beiden Seiten begrenzt sind.

Geometrische Darstellung

Die in der Skizze verwendete Schreibweise ${\displaystyle [AB}$ drückt aus, dass es sich um eine Teilmenge der Geraden ${\displaystyle AB}$ handelt, die durch den Punkt ${\displaystyle A}$ begrenzt wird, sich aber über den Punkt ${\displaystyle B}$ hinaus erstreckt.

Mit Hilfe der Zwischen-Relation („… liegt zwischen … und …“) lässt sich die Halbgerade ${\displaystyle [AB}$ definieren als die Menge aller Punkte ${\displaystyle X}$ auf der Geraden ${\displaystyle AB}$, für die ${\displaystyle A}$ nicht zwischen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle X}$ liegt.

Betrachtet man eine Gerade ${\displaystyle g}$ und einen beliebigen Punkt ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle g}$, so lassen sich die beiden dadurch festgelegten Halbgeraden ${\displaystyle h_{1}}$ und ${\displaystyle h_{2}}$ charakterisieren als nicht leere Teilmengen von ${\displaystyle g}$, die folgende Bedingungen erfüllen:

• Jeder Punkt auf der Geraden ${\displaystyle g}$, der nicht mit ${\displaystyle P}$ übereinstimmt, gehört zu genau einer der beiden Teilmengen ${\displaystyle h_{1}}$ oder ${\displaystyle h_{2}}$.
• Ist ${\displaystyle P_{1}}$ ein beliebiger Punkt von ${\displaystyle h_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ ein beliebiger Punkt von ${\displaystyle h_{2}}$, so liegt ${\displaystyle P}$ zwischen ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$.

Damit ist die Halbgerade eng mit dem Begriff Intervall verbunden: Ein Intervall lässt sich als Schnittmenge zweier Halbgeraden definieren.

Analytische Darstellung

In der analytischen Geometrie entspricht die Halbgerade ${\displaystyle [AB}$ der Menge aller Punkte ${\displaystyle X}$, deren Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {X}}}$ gegeben ist durch

${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda ({\vec {B}}-{\vec {A}})}$ mit ${\displaystyle \lambda \geq 0}$.

Dabei sind ${\displaystyle {\vec {A}}}$ und ${\displaystyle {\vec {B}}}$ die Ortsvektoren der Endpunkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$. ${\displaystyle \lambda }$ ist der (reelle) Parameter dieser Parametergleichung.

Siehe auch

• Seiteneinteilung