Mandelknolle

Mandelknolle-Bild gemäß der Formel v ↦ v^9 + c

Die Mandelknolle (englisch Mandelbulb) ist ein dreidimensionales Fraktal. Es wurde 2009 von Daniel White und Paul Nylander konstruiert. Dazu wurde eine herkömmliche Mandelbrotmenge einer sphärischen Koordinatentransformation unterzogen.[1][2]

Mathematik

Flug um die Mandelknolle

Eine dreidimensionale Mandelbrot-Menge in Normalenform existiert so nicht, denn es gibt kein dreidimensionales Analogon der komplexen Ebene (sondern nur höherdimensionale Zahlensysteme wie Quaternionen oder Dimensionen mit anderen hyperkomplexen Zahlen).[3][4]

Whites und Nylanders Formel für die n-te Potenz des Vektors ${\displaystyle {\mathbf {v} }=(x,y,z)^{\mathsf {T}}}$ in einem kartesischen Koordinatensystem (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) lautet

${\displaystyle {\mathbf {v} }^{n}:=r^{n}{\begin{pmatrix}\sin(n\theta )\cos(n\varphi )\\\sin(n\theta )\sin(n\varphi )\\\cos(n\theta )\end{pmatrix}}}$

unter Verwendung der Kugelkoordinaten ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ mit

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {z}{r}}\right)}$

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctan2} (x,y)=\arg(x+y\,\mathrm {i} ).}$

Mit der arctan2-Funktion wird das Argument der komplexen Zahl ${\displaystyle x+y\,\mathrm {i} }$ berechnet.

Die Mandelknolle ist sodann definiert als die Menge der Werte ${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}}$, für die der Orbit von ${\displaystyle (0,0,0)^{\mathsf {T}}}$ unter der Iteration ${\displaystyle {\mathbf {v} }\mapsto {\mathbf {v} }^{n}+{\mathbf {c} }}$ beschränkt ist. Für n > 3 ergibt sich eine dreidimensionale, birnenähnliche Struktur mit fraktalen Oberflächendetails und eine Anzahl an „Lappen“ abhängig von n. Viele Graphikrenderings nutzen für n den Wert 8. Die Gleichungen können in rationale Polynome vereinfacht werden, wenn n ungerade ist. Für den Fall n = 3 kann die Abbildung ${\displaystyle {\mathbf {v} }\mapsto {\mathbf {v} }^{3}}$ in die folgende, vereinfachte Form umgeformt werden:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})x(x^{2}-3y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}\\{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})y(3x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}\\z(z^{2}-3x^{2}-3y^{2})\end{pmatrix}}}$.

Allgemeiner kann man entsprechende Fraktale (neben n auch von p und q abhängend) für die Abbildung

${\displaystyle {\mathbf {v} }^{n}:=r^{n}{\begin{pmatrix}\sin(p\theta )\cos(q\varphi )\\\sin(p\theta )\sin(q\varphi )\\\cos(p\theta )\end{pmatrix}}}$

konstruieren, wobei p und q nicht gleich n sein müssen, um ${\displaystyle \Vert \mathbf {v} ^{n}\Vert =\Vert \mathbf {v} \Vert ^{n}}$ zu erfüllen. Noch allgemeinere Fraktale können mit der Iteration

${\displaystyle {\mathbf {v} }^{n}:=r^{n}{\begin{pmatrix}\sin(f(\theta ,\varphi ))\cos(g(\theta ,\varphi ))\\\sin(f(\theta ,\varphi ))\sin(g(\theta ,\varphi ))\\\cos(f(\theta ,\varphi ))\end{pmatrix}}}$

gefunden werden.

Ähnlichkeit mit der Mandelbrot-Menge

Ähnlichkeit zur Mandelbrot-Menge visualisiert

Durch gewisse Transformationen der Mandelknolle lässt sich eine Ähnlichkeit mit der Mandelbrot-Menge erahnen. Wenn man im Fall n = 2 das Fraktal in der Mitte durchschneidet, erkennt man die klassische Mandelbrot-Menge.

Die Julia-Menge am Nullpunkt der Mandelbrot-Menge entspricht einer idealen Kreisfläche. Analog dazu ist die Julia-Menge am Nullpunkt der Mandelknolle eine ideale Kugel. Diese Julia-Mengen unterscheiden sich hier also nur in der Anzahl der Dimensionen voneinander.

Trivia

• Im 2014 erschienenen Computeranimationsfilm Baymax findet eine Szene im Zentrum eines Wurmloches statt, das dem stilisierten Inneren einer Mandelknolle ähnelt.[5]
• Ein Alien im Science-Fiction-Horrorfilm Auslöschung als Teil einer Mandelknolle.[6]
• Das Geisterreich der Kerht im Webcomic Unsounded wird als goldene Mandelknolle dargestellt.[7]

Galerie

Die folgende Galerie zeigt verschiedene Ansichten und Besonderheiten der Mandelknolle, teils auch als Animation:

• 
  Gesamtansicht
• 
  Blick von oben
• 
  Eine „Knolle“
• 
  Der obere Teil
• 
  Überblick über die „Lamellen“
• 
  Eine „Lamelle“ im Detail
• 
  Eine Einbuchtung der Mandelknolle
• 
  Ansicht einer aufgeschnittenen, hohlen Mandelknolle
• Mandelknolle aus Sicht von drei Rotationsachsen
• „CT-Scan“ der Mandelknolle, der verschiedene Schichten zeigt
• Übersicht (Flug über verschiedene Partien)
• Knollen von Nahem
• Wachstum der Variable der Fraktalformel v ↦ v^x + c, linearer Anstieg des Wertes von x von 0 auf 21; Frontalansicht
• Wachstum der Variable der Fraktalformel v ↦ v^x + c, linearer Anstieg des Wertes von x von 0 auf 21; Fraktal um 90° gedreht (Blick von oben)

Siehe auch

• Mandelbox
• Mandelbulber (Fraktalgenerierendes Programm; benannt nach der Mandelknolle)

Weiterführende Links

Commons: Mandelbulb – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

• Daniel White: The Unravelling of the Real 3D Mandelbulb. In: skytopia.com. 8. November 2009; abgerufen am 12. November 2024 (englisch). 
• Marianne Freiberger: Pandora's 3D box. In: plus.maths.org. 25. November 2009; abgerufen am 12. November 2024 (englisch). 
• Jos Leys: Gallery: The Mandelbulb fractal. In: josleys.com. 5. Dezember 2009; abgerufen am 12. November 2024 (englisch). 
• Heinrich Hemme: Fraktale: Die Höhlen der Mathematik. In: faz.net. 22. Dezember 2009; abgerufen am 12. November 2024. 
• Holger Dambeck: Numerator: Apfelmännchen erobert die dritte Dimension. In: spiegel.de. 29. Dezember 2009; abgerufen am 12. November 2024. 
• Christoph Pöppe: Mandelbrot dreidimensional. In: spektrum.de. 26. März 2010; abgerufen am 12. November 2024. 
• Jules Ruis: From 2D Fractal Geometry to 3D Fractal Trigeometry. (PDF; 1,4 MB) In: fractal.org. 15. April 2023; abgerufen am 12. November 2024 (englisch). 
• Krzysztof Marczak: Mandelbulb Flight. In: youtube.com. 5. Januar 2010; abgerufen am 12. November 2024. 
• Maths Town: Taking Flight - Mandelbulb Fractal Flight (4k 60fps). In: youtube.com. 3. Juli 2021; abgerufen am 12. November 2024. 

Einzelnachweise

1. Paul Nylander: Hypercomplex Fractals. In: bugman123.com. 3. Juli 2009; abgerufen am 12. November 2024 (englisch). 
2. Daniel White: The Unravelling of the Real 3D Mandelbulb. In: skytopia.com. 8. November 2009; abgerufen am 12. November 2024 (englisch). 
3. Jos Leys: Mandelbulb. Images des Mathématiques. In: cnrs.fr. 16. Januar 2010; abgerufen am 12. November 2024 (französisch). 
4. Christoph Pöppe: Mandelbrot dreidimensional. In: spektrum.de. 26. März 2010; abgerufen am 12. November 2024. 
5. David Hutchins, Olun Riley, Jesse Erickson, Alexey Stomakhin, Ralf Habel, Michael Kaschalk: Big Hero 6: into the portal. In: acm.org. 31. Juli 2015; abgerufen am 9. Juli 2020 (englisch). 
6. Emily Gaudette: What Is Area X and the Shimmer in 'Annihilation'? VFX Supervisor Explains the Horror Film's Mathematical Solution. In: newsweek.com. 26. Februar 2018; abgerufen am 26. Februar 2018 (englisch). 
7. Unsounded Wiki. In: fandom.com. Abgerufen am 12. November 2024 (englisch).