Kleeblattschlinge

Kleeblattschlinge

Die Kleeblattschlinge oder der Kleeblattknoten ist einer der einfachsten Knoten und spielt eine zentrale Rolle in der Knotentheorie. Der Knoten hat seinen Namen wegen seiner Ähnlichkeit zu Kleeblättern.

Parametrisierung und Invarianten

Eine einfache Parameterdarstellung der Kleeblattschlinge ist:

${\displaystyle x=(2+\cos 3t)\cos 2t,\qquad y=(2+\cos 3t)\sin 2t,\qquad z=\sin 3t.}$

Die so definierte Kurve liegt überschneidungsfrei auf dem Torus, der in Zylinderkoordinaten durch ${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$ definiert ist. Damit ist die Kleeblattschlinge das einfachste Beispiel eines Torusknotens.[1]

Das Alexander-Polynom der Kleeblattschlinge ist

${\displaystyle \Delta (t)=t-1+t^{-1},}$

und ihr Jones-Polynom ist

${\displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}$ oder

${\displaystyle V(q)=q+q^{3}-q^{4},}$

je nachdem, ob sie rechts- oder linkshändig ist.

Die Knotengruppe hat die Präsentierung

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle \,}$

und ist damit isomorph zur Zopfgruppe ${\displaystyle B_{3}}$.

Das Knotenkomplement der Kleeblattschlinge ist diffeomorph zu ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )/SL(2,\mathbb {Z} )}$, also dem Quotienten von SL(2,R) nach der Modulgruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$.

Symmetrie

Die Kleeblattschlinge ist chiral, d. h., sie ist nicht in ihr Spiegelbild deformierbar. Deshalb existieren zwei nicht ineinander überführbare Formen von Kleeblattschlingen. Diese werden auch rechtshändige und linkshändige Kleeblattschlinge genannt.[2]

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  Eine linkshändige Kleeblattschlinge.
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  Eine rechtshändige Kleeblattschlinge.

In der Kunst

Als einfacher Knoten kommt die Kleeblattschlinge häufig in der bildenden Kunst und der Ikonographie vor. So sind zum Beispiel die Triquetra und die zusammenhängende Form der Valknut Kleeblattschlingen.

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  Das Logo des Deutschen Fußball-Bunds ähnelt einer Kleeblattschlinge.
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  Eine Triquetra.
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  Ein alter nordischer Mjöllnir, Anhänger mit Kleeblättern.

Galerie

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  Ein einfaches Triquetra-Symbol
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  Eine fest geknüpfte Triquetra
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  Die Valknut
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  Eine metallische Valknut in Form eines Kleeblattes
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  Seifert-Fläche für eine Kleeblattschlinge.
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  Nicht-orientierbare Fläche, deren Rand eine Kleeblattschlinge ist.

Literatur

• Max Dehn: Die beiden Kleeblattschlingen. In: Mathematische Annalen. 102, 1914, S. 402–413 (uni-goettingen.de).

Weblinks

Commons: Trefoil knots – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

1. uni-math.gwdg.de (PDF; 2,2 MB) Knotentheorie. Abgerufen am 3. Mai 2012.
2. cut-the-knot.org über Achtknoten. Abgerufen am 3. Mai 2012.