Kürzbarkeit

Kürzbarkeit ist eine Eigenschaft von Elementen einer algebraischen Struktur.

Kürzbare/reguläre Elemente

Gegeben sei ein Gruppoid/Magma ${\displaystyle (M,*)}$.

Definition

Ein Element ${\displaystyle c\in M}$ heißt linkskürzbar oder linksregulär, wenn für alle ${\displaystyle a,b\in M}$ gilt:

${\displaystyle c*a=c*b\implies a=b,}$

und rechtskürzbar oder rechtsregulär, wenn für alle ${\displaystyle a,b\in M}$ gilt:

${\displaystyle a*c=b*c\implies a=b.}$

${\displaystyle c\in M}$ heißt zweiseitig kürzbar bzw. zweiseitig regulär oder einfach nur kürzbar bzw. regulär, wenn ${\displaystyle c}$ links- und rechtskürzbar ist.

Bemerkung

Ist * kommutativ, sind alle drei Arten der Kürzbarkeit gleich, im Allgemeinen jedoch nicht.

Beispiel

• In einem Ring ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ ist ein Element genau dann kürzbar, wenn es ein Nichtnullteiler ist.
• In einer Quasigruppe sind alle Elemente kürzbar.

Kürzbare/reguläre Halbgruppen

Definition

Eine Halbgruppe ${\displaystyle (S,*)}$ heißt kürzbar oder regulär, wenn jedes ${\displaystyle a\in S}$ kürzbar ist.

Beispiele

• Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ oder mit der üblichen Multiplikation ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot )}$ ist eine kürzbare Halbgruppe.
• Die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Maximum ${\displaystyle (\mathbb {N} ,{\text{max}})}$ oder mit dem Minimum ${\displaystyle (\mathbb {N} ,{\text{min}})}$ ist keine kürzbare Halbgruppe.