Magma (Mathematik)

In der Mathematik ist ein Magma (neutrum, Mehrzahl Magmen oder Magmata) eine algebraische Struktur, bestehend aus einer Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung zweier beliebiger Elemente dieser Menge, die wiederum ein Element aus dieser Menge ergibt. Es wird auch Gruppoid,[1] manchmal Binar oder Operativ genannt. Weitere Anforderungen an die Struktur eines Magmas werden nicht gestellt. Der Begriff wurde 1926 von dem deutschen Mathematiker Heinrich Brandt als Gruppoid entwickelt. Das Wort Magma hierfür wurde dann 1964 vom französischen Mathematiker Jean-Pierre Serre in seinen Vorlesungen an der Harvard University verwendet.[2] Im Französischen bedeutet Magma – zwar veraltet, aber gebräuchlich – sinngemäß „wirres, unauflösbares Gemisch“, „Gemenge abstrakter Dinge“[3] und soll somit sinnbildlich für diese algebraische Struktur stehen. Dieser von Jean-Pierre Serre gewählte Begriff wurde in die 1974 erschienene Auflage des Standardwerks Algebra I vom französischen Autorenkollektiv Nicolas Bourbaki übernommen und hat sich dadurch in Fachkreisen etabliert[4].

Eine Verallgemeinerung des Magmas ist das Pseudo-Magma, in dem die Verknüpfung nicht mehr auf der ganzen zugrundeliegenden Menge erklärt sein muss, also partiell sein kann.

Definitionen

Magma

Ein Magma ist ein Paar ${\displaystyle (M,*),}$ bestehend aus einer Menge ${\displaystyle M}$ (der Trägermenge) und einer zweistelligen inneren Verknüpfung ${\displaystyle *\,\colon \,M\times M\rightarrow M.}$

Für ${\displaystyle a*b}$, die Verknüpfung zweier Elemente ${\displaystyle a,b\in M}$, schreibt man auch kurz ${\displaystyle ab}$.

Die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$ kann auch als Trägermenge ${\displaystyle M}$ zugelassen werden; das Paar ${\displaystyle (\emptyset ,\emptyset )}$ ist auf triviale Weise ein Magma.

Ist die Verknüpfung kommutativ, so heißt das Magma kommutativ oder abelsch; ist sie assoziativ, so heißt das Magma assoziativ oder Halbgruppe.

Untermagma

• Sei ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}=(M,*)}$ ein Magma. Ein Magma ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}=(U,\circ )}$ heißt Untermagma von ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$, wenn ${\displaystyle U\subseteq M}$ und ${\displaystyle \circ =*|_{U\times U}}$, d. h., die Verknüpfung ${\displaystyle \circ }$ ist die Einschränkung von ${\displaystyle *}$ auf ${\displaystyle U\times U}$.

Genau dann ist also ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ ein Untermagma von ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$, wenn ${\displaystyle U\subseteq M}$ und ${\displaystyle U}$ abgeschlossen ist bezüglich ${\displaystyle *}$, d. h., es gilt

${\displaystyle a\circ b=a*b\in U}$ für alle ${\displaystyle a,b\in U}$.

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ nennt man dann auch Obermagma von ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$.

• Der Durchschnitt von Untermagmen ist ein Untermagma.
• Jede Teilmenge ${\displaystyle U\subset M}$ eines Magmas ist enthalten in einem kleinsten Untermagma, das ${\displaystyle U}$ enthält. Dieses Untermagma heißt von ${\displaystyle U}$ erzeugt.

Beispiele

Magmen, die keine Halbgruppen sind

Die folgenden Beispiele sind Magmen, die keine Halbgruppen sind:

• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,-)}$: die ganzen Zahlen mit der Subtraktion
• ${\displaystyle (\mathbb {R} \setminus \{0\},/)}$: die reellen Zahlen ungleich ${\displaystyle 0}$ mit der Division
• Die natürlichen Zahlen mit der Exponentiation, also mit der Verknüpfung ${\displaystyle a*b=a^{b}}$
• Die reellen Zahlen mit der Bildung des arithmetischen Mittels als Verknüpfung
• Alle Gleitkommadarstellungen (Gleitkommazahl) zu beliebigen Basen, Exponenten- und Mantissenlängen mit der Multiplikation (×) sind echte, unitäre, kommutative Magmen wenn man (der Abgeschlossenheit wegen) die ±∞, ±∞ × 0 und 0 × ±∞ (NaNs) hinzunimmt. So ist die Gleitkommamultiplikation weder assoziativ noch besitzt sie im Allgemeinen ein eindeutiges Inverses, auch wenn beides für einige Fälle tatsächlich gilt.
• Endliche Magmen werden oft mit Verknüpfungstafeln dargestellt, z. B. für das Magma ${\displaystyle A=(\{a,b,c,d\},*)}$:

${\displaystyle *}$	a	b	c	d
a	a	b	c	a
b	c	d	b	c
c	c	a	a	c
d	a	d	d	b

Die Verknüpfung ${\displaystyle *}$ in diesem Beispiel ist nicht assoziativ, wie das folgende Beispiel zeigt: ${\displaystyle (b*c)*a\neq b*(c*a)}$.

Beispiele für Pseudo-Magmen

Die folgenden Beispiele sind keine Magmen, da die angegebene Verknüpfung nicht für alle möglichen Werte definiert ist (sie sind also Pseudo-Magmen):

• Die natürlichen Zahlen mit der Subtraktion.
• Die reellen Zahlen mit der Division.
• Alle Gleitkommamultiplikationen ohne NaNs oder ±∞.

Beispiele für Untermagmen

Beispiele für Untermagmen sind

• ${\displaystyle (\mathbb {Q} \setminus \{0\},/)}$ (die rationalen Zahlen ungleich ${\displaystyle 0}$ mit der Division) ist ein Untermagma von ${\displaystyle (\mathbb {R} \setminus \{0\},/)}$ (siehe oben).
• Das Magma ${\displaystyle B=(\{a,c\},\circ )}$ mit folgender Verknüpfungstafel ist Untermagma des oben genannten Magmas ${\displaystyle A=(\{a,b,c,d\},*)}$:

${\displaystyle \circ }$	a	c
a	a	c
c	c	a

Eigenschaften

Die Grundmenge ist unter einer inneren Verknüpfung per Definition abgeschlossen. Ansonsten muss ein Magma keine speziellen Eigenschaften haben. Durch Hinzunahme weiterer Bedingungen werden speziellere Strukturen definiert, die alle wiederum Magmen sind. Typische Beispiele sind:

• Halbgruppe: ein Magma, dessen Verknüpfung assoziativ ist
• Monoid: eine Halbgruppe mit einem neutralen Element
• Quasigruppe: ein Magma, in dem alle Gleichungen der Form ${\displaystyle ax=b}$ oder ${\displaystyle xa=b}$ eindeutig nach ${\displaystyle x}$ auflösbar sind
• Loop: eine Quasigruppe mit einem neutralen Element
• Gruppe: ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses hat
• Abelsche Gruppe: eine Gruppe, deren Verknüpfung kommutativ ist
• Mediales Magma: ein Magma, in dem für alle Elemente die Gleichung ${\displaystyle (a\star b)\star (c\star d)=(a\star c)\star (b\star d)}$ gilt

Morphismen

Sind ${\displaystyle (A,\star ),(B,\circ )}$ zwei Magmen, so heißt eine Abbildung ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ ein Morphismus, wenn für alle ${\displaystyle a,a'\in A}$ gilt: ${\displaystyle f(a\star a')=f(a)\circ f(a')}$.[5]

• Ist ${\displaystyle A=B}$, so heißt ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A}$ Endomorphismus.
• Ist ein Morphismus ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ als Abbildung bijektiv, so ist auch die Umkehrabbildung ein Morphismus. In diesem Fall heißt ${\displaystyle f}$ ein Isomorphismus.

Beispiele für Morphismen

• Die Identität ${\displaystyle id_{\rm {A}}}$ auf einem Magma ${\displaystyle (A,\star )}$ ist stets ein Morphismus ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A}$. Schreibt man die Verknüpfung ${\displaystyle (\star )}$ als Funktion ${\displaystyle v(,)}$, folgt anschaulich ${\displaystyle f(a)=v(a,id_{\rm {A}})=v(id_{\rm {A}},a)=a}$.
• Die Verkettung von Morphismen ist ein Morphismus. Die Klasse der Magmen zusammen mit der Klasse der Morphismen bilden eine Kategorie.
• Hat ein Magma ${\displaystyle E=(\{e\},\circ )}$ nur ein Element, so gibt es von jedem Magma ${\displaystyle (A,\star )}$ genau einen Morphismus ${\displaystyle f\colon A\rightarrow E}$ mit der Abbildung ${\displaystyle f(a)=e}$.
  • Existenz: Wegen der Abgeschlossenheit von ${\displaystyle E}$ gilt ${\displaystyle e\circ e=e}$ und mit ${\displaystyle a,a',a''\in A}$ folgt ${\displaystyle f(a\star a')=f(a'')=e=e\circ e=f(a)\circ f(a')}$, also ${\displaystyle f(a\star a')=f(a)\circ f(a')}$.
  • Eindeutigkeit: Seien ${\displaystyle f(a)=e}$ und ${\displaystyle g(a)=e}$ zwei Abbildungen ${\displaystyle f,g\colon A\rightarrow E}$, so gilt ${\displaystyle f(a)=e=g(a)}$ und damit ${\displaystyle f(a)=g(a)}$.

Das Magma ${\displaystyle E}$ ist mit ${\displaystyle e\circ e=e}$ außerdem kommutativ und damit abelsch.

• Die Einbettung eines Magmas in ein Obermagma ist immer ein Morphismus.

Freies Magma

Ist ${\displaystyle X}$ eine beliebige Menge, so gibt es ein Magma ${\displaystyle (F(X),\star )}$ mit ${\displaystyle X}$ als Basis[4]. Dieses ${\displaystyle F(X)}$ ist bis auf Isomorphien eindeutig bestimmt. Die Elemente von ${\displaystyle F(X)}$ werden durch die Elemente ${\displaystyle \{a,b,c,d,\ldots \}}$ von ${\displaystyle X}$ mit der Verknüpfung ${\displaystyle a\star b=(ab)}$ wie folgt gebildet:

• Grad 1: ${\displaystyle a,b,c,d,\ldots }$
• Grad 2: ${\displaystyle (aa),(ab),(ac),(ad),\ldots ,(ba),(bb),(bc),(bd),\ldots ,\ldots }$
• Grad 3: ${\displaystyle (a(aa)),(a(ab)),\ldots ,(b(aa)),(b(ab)),\ldots ,((aa)a),((aa)b),\ldots ,\ldots }$
• Grad 4: ${\displaystyle \ldots ,(c((ac)a)),\ldots ,((ab)(cd)),\ldots }$
• Grad 5: ${\displaystyle \ldots }$
• Grad ...

Dieses Magma ${\displaystyle F(X)}$ wird freies Magma genannt.

Anmerkungen

1. Die Bezeichnung Gruppoid wird auch für eine mathematische Struktur in der Kategorientheorie verwendet, siehe Gruppoid (Kategorientheorie).
2. Jean-Pierre Serre: Lie Algebras and Lie Groups. 1964 Lectures given at Harvard University. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1965, ISBN 3-540-55008-9, Chapter IV. Free Lie Algebras, S. 18. 
3. Définitions : magma - Dictionnaire de français Larousse. In: larousse.fr. Abgerufen am 30. Juli 2022. 
4. Nicolas Bourbaki: Algebra I. In: Elements of Mathematics. Hermann, Paris 1974, ISBN 2-7056-5675-8, Chap. 1, §7, S. 81 pp. 
5. Nicolas Bourbaki: in „Elements of Mathematics Algebra I“ im Chapter I „Algebraic Structures“

Literatur

• Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics: Algebra I. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 978-3-540-64243-5.
• Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics: Algebra I. Hermann, Paris / Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1974.
• Lothar Gerritzen: Grundbegriffe der Algebra. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden 1994, ISBN 3-528-06519-2.
• Thomas Ihringer: Allgemeine Algebra. Heldermann, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9.
• Georges Papy: Einfache Verknüpfungsgebilde: Gruppoide. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1969.