Intermediäre Ricci-Krümmung

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, gibt es den Begriff intermediäre Ricci-Krümmung in zwei unterschiedlichen Bedeutungen. Im einen Fall wird zwischen Schnittkrümmung und Ricci-Krümmung interpoliert, im anderen zwischen Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung.

Definitionen

Sei ${\displaystyle M}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Für zwei Vektoren ${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$ im Tangentialraum eines Punktes ${\displaystyle p\in M}$ bezeichnen wir jeweils mit ${\displaystyle K(v,w)}$ die Schnittkrümmung der von ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$ aufgespannten Ebene in ${\displaystyle T_{p}M}$.

Interpolation zwischen Schnittkrümmung und Ricci-Krümmung

Sei ${\displaystyle 1\leq k\leq \mathrm {dim} (M)-1}$. Dann ist die ${\displaystyle k}$-te intermediäre Ricci-Krümmung für ${\displaystyle k+1}$ orthonormale Vektoren ${\displaystyle x,y_{1},\ldots ,y_{k}}$ in einem Tangentialraum ${\displaystyle T_{p}M}$ definiert als

${\displaystyle \mathrm {Ric} _{k}(x,y_{1},\ldots ,y_{k}):=K(x,y_{1})+\ldots +K(x,y_{k}).}$

Für ${\displaystyle k=1}$ erhält man die Schnittkrümmung ${\displaystyle K(x,y_{1})}$ und für ${\displaystyle k=\mathrm {dim} (M)-1}$ die Ricci-Krümmung ${\displaystyle \mathrm {Ric} (x,x)}$.

Interpolation zwischen Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung

Sei ${\displaystyle 1\leq k\leq \mathrm {dim} (M)}$. Dann ist die ${\displaystyle k}$-te intermediäre Ricci-Krümmung für ${\displaystyle k}$ orthonormale Vektoren ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ in einem Tangentialraum ${\displaystyle T_{p}M}$ definiert als

${\displaystyle \mathrm {Ric} _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k}):=\mathrm {Ric} (x_{1},x_{1})+\ldots +\mathrm {Ric} (x_{k},x_{k}).}$

Für ${\displaystyle k=1}$ erhält man die Ricci-Krümmung ${\displaystyle \mathrm {Ric} (x_{1},x_{1})}$ und für ${\displaystyle k=\mathrm {dim} (M)}$ die Skalarkrümmung in ${\displaystyle p}$.

Literatur

• H. Wu, Manifolds of partially positive curvature. Indiana Univ. Math. J. 36, 525–548 (1987).
• S. Brendle, S. Hirsch, F. Johne, A generalization of Geroch´s conjecture. arXiv:2207.08617

Weblinks

• L. Mouillé: Intermediate Ricci Curvature