Inkompressible Fläche

In der Mathematik sind inkompressible Flächen ein wichtiges Hilfsmittel der 3-dimensionalen Topologie. Durch Aufschneiden entlang inkompressibler Flächen können 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten in einfachere Stücke zerlegt werden.

Definition

Sei ${\displaystyle (M,\partial M)}$ eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit (evtl. leerem) Rand und ${\displaystyle (F,\partial F)\subset (M,\partial M)}$ eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit, d. h. eine eigentlich eingebettete Fläche.

Inkompressible Fläche

Eine Kompressionsscheibe für ${\displaystyle F}$ ist eine eingebettete Kreisscheibe

${\displaystyle (D^{2},\partial D^{2})\subset (M,F)}$,

so dass ${\displaystyle F\cap D^{2}=\partial D^{2}}$ in ${\displaystyle F}$ nicht homotop zu einer konstanten Abbildung ist.

Die Fläche ${\displaystyle F}$ heißt inkompressibel wenn

• ${\displaystyle F\not =S^{2},D^{2},\mathbb {R} P^{2}}$ und es keine Kompressionsscheibe für ${\displaystyle F}$ gibt, oder
• ${\displaystyle F=D^{2}}$ und ${\displaystyle \partial F}$ ist in ${\displaystyle \partial M}$ nicht homotop zu einer konstanten Abbildung.

Rand-inkompressible Fläche

Eine Rand-Kompressionsscheibe für ${\displaystyle F}$ ist ein eingebettetes Tripel ${\displaystyle (D^{2},A,B)\subset (M,\partial M,F)}$ mit ${\displaystyle A\cup B=\partial D^{2},D^{2}\cap F=B}$, so dass ${\displaystyle D^{2}}$ nicht (rel. ${\displaystyle \partial D^{2}}$) isotop zu einer Einbettung mit Bild in ${\displaystyle \partial M\cup F}$ ist, deren Bild ${\displaystyle \partial M}$ und ${\displaystyle F}$ jeweils in Kreisscheiben schneidet.

Die Fläche ${\displaystyle F}$ heißt ${\displaystyle \partial }$-inkompressibel wenn es keine Rand-Kompressionsscheibe für ${\displaystyle F}$ gibt.

Bei Mannigfaltigkeiten mit nichtleerem Rand wird häufig auch von inkompressiblen Flächen gesprochen, wenn Flächen gemeint sind, die im Sinne obiger Definitionen inkompressibel und rand-inkompressibel sind.

Fundamentalgruppe

Wenn ${\displaystyle F}$ eine inkompressible Fläche in ${\displaystyle M}$ ist, dann ist der von der Inklusion ${\displaystyle i:F\rightarrow M}$ induzierte Homomorphismus der Fundamentalgruppen

${\displaystyle i_{*}:\pi _{1}F\rightarrow \pi _{1}M}$

injektiv. Für zweiseitige Flächen gilt auch die Umkehrung: eine zusammenhängende zweiseitige Fläche ist inkompressibel genau dann, wenn sie ${\displaystyle \pi _{1}}$-injektiv ist.

Existenz

Wenn ${\displaystyle M}$ eine kompakte irreduzible 3-Mannigfaltigkeit ist, dann gibt es zu jeder Homologieklasse

${\displaystyle z\in H_{2}(M,\partial M;\mathbb {Z} )}$

eine (orientierbare, evtl. unzusammenhängende) inkompressible und ${\displaystyle \partial }$-inkompressible Fläche ${\displaystyle F\subset M}$, so dass

${\displaystyle i_{*}\left[F,\partial F\right]=z}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle i:(F,\partial F)\rightarrow (M,\partial M)}$ die Inklusion und ${\displaystyle \left[F,\partial F\right]\in H_{2}(F,\partial F;\mathbb {Z} )}$ die Fundamentalklasse von ${\displaystyle F}$.

Satz von Haken

Der Satz von Haken besagt, dass Aufschneiden einer 3-Mannigfaltigkeit entlang einer inkompressiblen, rand-inkompressiblen Fläche die Haken-Komplexität der 3-Mannigfaltigkeit verringert. Dies wird in der 3-dimensionalen Topologie häufig benutzt, um Beweise mittels Induktion nach der Haken-Komplexität zu führen.

Minimalflächen

Nach einem Satz von Freedman, Hass und Scott ist jede inkompressible Fläche (in einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit) isotop zu einer Minimalfläche vom Index 0.

Siehe auch

• Haken-Mannigfaltigkeit

Literatur

• William Jaco: Lectures on three-manifold topology. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 43. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1980. ISBN 0-8218-1693-4