Godbillon-Vey-Invariante

In der Mathematik ist die Godbillon-Vey-Invariante eine Invariante von Blätterungen.

Definition

Sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine glatte, transversal orientierbare, ${\displaystyle (n-q)}$-dimensionale Blätterung einer ${\displaystyle n}$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Ihr tangentiales Hyperebenenfeld ${\displaystyle E\subset TM}$ lässt sich (lokal) als Nullstellenmenge einer ${\displaystyle q}$-Form

${\displaystyle \omega \in \Omega ^{q}(M)}$

beschreiben und es gibt (lokal) eine ${\displaystyle 1}$-Form ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{1}(M)}$ mit

${\displaystyle d\omega =\omega \wedge \eta }$.

Die Godbillon-Vey-Invariante der Blätterung ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ist definiert als

${\displaystyle gv({\mathcal {F}}):=\int _{M}\eta \wedge (d\eta )^{q}}$.

Die Definition ist unabhängig von der Wahl von ${\displaystyle \omega }$ und ${\displaystyle \eta }$.

Satz von Duminy

Ein Blatt ${\displaystyle L}$ einer Blätterung ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ heißt resilient, wenn es nicht eigentlich eingebettet ist und nichttriviale Holonomie hat.

Die Godbillon-Vey-Invariante von Kodimension-1-Blätterungen misst in folgendem Sinne die Resilienz von Blättern.

Satz von Duminy: Sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine glatte, transversal orientierbare, ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale Blätterung einer ${\displaystyle n}$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Wenn kein Blatt von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ resilient ist, dann ist

${\displaystyle gv({\mathcal {F}})=0}$.

Literatur

• A. Candel and L. Conlon, Foliations. I, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000.
• Godbillon, Vey Un invariant des feuilletages de codimension 1, Compte Rendu Academie des Sciences, Paris, Band 273, 1971, S. 273–292
• Étienne Ghys L´invariant de Godbillon-Vey, Séminaire Bourbaki 706, 1988/89