Erdős-Borwein-Konstante

Die Erdős-Borwein-Konstante, benannt nach Paul Erdős und Peter Borwein, ist eine mathematische Konstante. Sie ist als die Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen definiert:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}=1{,}60669{\text{ }}51524{\text{ }}15291{\text{ }}76378{\text{ }}...}$ (Folge A065442 in OEIS)

Folgende Darstellungen sind dazu äquivalent:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}$

${\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}$

${\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}$

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}$

wobei σ₀(n) = d(n) die Teileranzahl ist (Anzahl der positiven Teiler von n). Um die Äquivalenz zu beweisen, beachte man, dass alle Summen als Lambert-Reihen ausgedrückt und dann umsummiert werden können.

Die Konstante wurde bereits 1749 von Euler betrachtet.[1] Erdős zeigte 1948, dass E eine irrationale Zahl ist.[2] Borwein zeigte 1992, dass allgemein

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{q^{n}-r}}}$     und     ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{q^{n}-r}}}$

für jede ganze Zahl q ≠ 0, ±1 und jede rationale Zahl r ≠ 0, q^n irrational, aber nicht liouvillesch sind.[3]

Literatur

• Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 355 und 357 (englisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Erdős-Borwein Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A038631 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von E)

Einzelnachweise

1. Leonhard Euler: Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae. (19. Juni 1749/26. Januar 1750), Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 3, 1753, S. 86–108 (lateinisch; „s=1,606695152415291“ auf S. 108)
2. Paul Erdős: On arithmetical properties of Lambert series (8. Juli 1948). In: The Journal of the Indian Mathematical Society, 12, 1948, S. 63–66 (englisch)
3. Peter B. Borwein: On the irrationality of certain series. (PDF; 3,4 MB) 11. Dezember 1991. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 112, 1992, S. 141–146 (englisch)