Teorema de Lindemann-Weierstrass

En matemàtiques, el teorema de Lindemann-Weierstrass és un resultat molt útil per establir la transcendència d'un nombre. Afirma que si ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}}$ són nombres algebraics linealment independents sobre el cos dels nombres racionals ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, llavors ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}}$ són algebraicament independents sobre ℚ; és a dir, el grau de transcendència de l'extensió del cos ${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}})}$ sobre ℚ és n.

Rep aquest nom en honor dels matemàtics alemanys Karl Weierstrass i Ferdinand von Lindemann. D'una banda Lindemann va demostrar el 1882 que ${\displaystyle e^{\alpha }}$ és transcendent per tot ${\displaystyle \alpha }$ algebraic no nul,[1] i així va establir que π és transcendent. Posteriorment, el 1885, Weierstrass va demostrar la forma més general d'aquest teorema.[2]

Aquest teorema, juntament amb el teorema de Gelfond-Schneider, està generalitzat per la conjectura de Schanuel.

Conveni de nom

El teorema també és conegut amb el nom de teorema de Hermite-Lindemann o teorema de Hermite-Lindemann-Weierstrass. Charles Hermite, matemàtic francès, va ser el primer a demostrar el cas particular del teorema en què els exponents ${\displaystyle \alpha _{i}}$ són nombres enters i la independència linear només és assegurada en el cos dels enters.[3] Un resultat que sovint és designat com teorema de Hermite.[4] Després que Lindemann i Weierstrass formulessin el teorema en el cas general d'α, altres matemàtics van fer aportacions en la simplificació del teorema, les més notables van ser obra del matemàtic alemany David Hilbert.

Corol·laris

Nombre e

Una conclusió immediata que es desprèn del teorema és la transcendència de e. Si s'agafa un ${\displaystyle \alpha }$ algebraic no nul, es té que {${\displaystyle \alpha }$} és un conjunt linealment independent sobre els racionals, i per tant, {${\displaystyle e^{\alpha }}$} és un conjunt algebraicament independent. En altres paraules, ${\displaystyle e^{\alpha }}$ és transcendent. En particular, si ${\displaystyle \alpha =1}$, es té que ${\displaystyle e}$ és transcendent.

Nombre pi

Es considera ara la transcendència de π. Si ${\displaystyle \pi }$ fos algebraic, ${\displaystyle 2\pi i}$ també ho seria (ja que 2i és algebraic), i per tant, segons el teorema de Lindemann-Weierstrass ${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$ és transcendent. Com que 1 no és transcendent, ${\displaystyle \pi }$ és necessàriament transcendent. Aquest resultat completa la demostració de la irresolubilitat de la quadratura del cercle.

Vegeu també

• Demostració irracionalitat de e
• Teorema de Gelfond-Schneider

Enllaços externs

• Demostració Teorema Lidemann-Weierstrass (en francès) Arxivat 2009-03-16 a Wayback Machine.

Referències

1. Über die Ludolph'sche Zahl, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin, 2, pages 679–682, 1882.
2. Zu Hrn. Lindemanns Abhandlung: 'Über die Ludolph'sche Zahl' , Sitzungber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin, 2, pages 1067–1086, 1885
3. Sur la fonction exponentielle, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 77, pages 18–24, 1873.
4. A.O.Gelfond, Transcendental and Algebraic Numbers, translated by Leo F. Boron, Dover Publications, 1960.