Idempotència

Idempotència en matemàtiques és una propietat d'alguns elements d'un conjunt respecte d'una operació, de mantenir la invariabilitat del resultat quan s'aplica l'operació repetidament.

El terme va ser introduït per Benjamin Peirce[1] en el context d'elements d'àlgebres que romanien invariants després d'aplicar-los l'operació d'elevar a la potència d'un enter positiu, d'aquí la denominació idem+potència on ídem vol dir el mateix.[2]

Definició

Idempotència en valors

Un element x d'un magma (M, •) es diu que és idempotent si:[3][4]

x • x = x.

llavors se'n dedueix que, x • x • x = x, tant si • és associatiu per la dreta, com per l'esquerra.

Si tots els elements són idempotents en •, llavors es diu que • és idempotent en el conjunt M.

La fórmula ∀x, x • x = x s'anomena llei de la idempotència per a •.[5][6]

Idempotència en funcions

Una funció ${\displaystyle f:M\to M}$ d'un conjunt ${\displaystyle M}$ en si mateix s'anomena idempotent si es compleix que per la composició de funcions:

${\displaystyle f\circ f=f}$, és a dir, ${\displaystyle \forall x\in M,\;f(f(x))=f(x)}$.

Exemples

El nombre natural 1 és idempotent respecte del producte (1 * 1 = 1). També ho és el 0 (0 * 0 = 0). Però cap altre nombre natural ho és; per ex.: no es dona el cas que (2 * 2 = 2), per això el producte no és una operació idempotent en el conjunt dels Naturals

Idempotència en anells

Una estructura d'anell on el producte sigui idempotent s'anomena Anell de Boole.

Referències

1. Polcino & Sehgal (2002), p. 127.
2. Dicc. IEC - ídem
3. Valenza, Robert. Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Berlin: Springer Science & Business Media, 2012, p. 22. ISBN 9781461209010. «An element s of a magma such that ss = s is called idempotent.» 
4. Doneddu, Alfred. Polynômes et algèbre linéaire (en francès). París: Vuibert, 1976, p. 180. «Soit M un magma, noté multiplicativement. On nomme idempotent de M tout élément a de M tel que a² = a.» 
5. George Grätzer. General Lattice Theory. Basel: Birkhäuser, 2003.  Here: Sect.1.2, p.5.
6. Garrett Birkhoff. Lattice Theory. 25. Providence: Am. Math. Soc., 1967. . Here: Sect.I.5, p.8.