معادلة xʸ=yˣ

عموما، المعادلات الأسية عمليات غير تبادلية. ولكن تعتبر معادلة xʸ=yˣ حالة خاصة، عندما تكون ${\displaystyle x=2,y=4}$.[1]

التاريخ

دانييل برنولي

ليونهارت أويلر

تم ذكر معادلة ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ لأول مرة في رسالة دانييل برنولي إلى كريستيان غولدباخ يوم 29 يونيو 1728.[2] ذكر فيها أن ${\displaystyle x\neq y}$ إلا في حالة ${\displaystyle (2,4)}$ و ${\displaystyle (4,2)}$، على الرغم من أن هناك العديد من الحلول غير المتناهية.[3][4]
جاء الرد من كريستيان غولدباخ في 31 يناير 1729، ذكر فيها الصيغة العامة لحل هذه المعادلة:[5]

${\displaystyle y=vx}$

وهي صيغة مشابهه لما ذكره ليونهارت أويلر.

أشار فان هينجيل (J. van Hengel) أنه إذا كان ${\displaystyle r,n}$ أعداد صحيحة موجبة. بحيث تكون ${\displaystyle r\geqslant 3}$ أو ${\displaystyle n\geqslant 3}$. يكون
${\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r}}$

وهذا كافي لاعتبار ${\displaystyle x=1}$ و ${\displaystyle x=2}$ في محاولة لإيجاد حل المعادلة.[6]

تم ذكر المشكلة في العديد من الأوراق البحثية والمنشورات. ففي عام 1960 تم ذكر المعادلة في منافسة ويل وليام بوتنام الرياضية.[7][8]

حلول حقيقة موجبة

يوجد العديد من الحلول إذا كانت المعادلة بالشكل التالي:

${\displaystyle x=y}$

ولكن لحل معادلة ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$، يجب اعتبار أن ${\displaystyle x\neq y}$. وأن ${\displaystyle y=vx}$.

وبذلك يكون

${\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}}$.

بأخذ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ أسا لكا الطرفين، ثم القسمة على ${\displaystyle x}$

${\displaystyle v=x^{v-1}}$.

يكون حل المعادلة على الشكل التالي :

${\displaystyle x=v^{\frac {1}{v-1}}}$,

${\displaystyle y=v^{\frac {v}{v-1}}}$.

بأخذ ${\displaystyle v=2}$ أو ${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}}$، يكون الحل الصحيح الموجب للمعادلة هو:

${\displaystyle 4^{2}=2^{4}}$.

انظر أيضا

• الدوال والثوابت الرياضية
• معدل الحرارة (الكفاءة).
• معادلات نيوتن-أويلر.
• الرقم الصغير.
• عدد غير أولي.
• الأس العشري.
• طريقة جاوس سيدل.
• عدد فاصل عائم .
• مقياس إنساني .
• نظام الوحدات الدولي.
• كسر .
• عدد صحيح خال من المربعات.
• جدول التفكيك إلى عوامل أولية.
• تحليل عدد صحيح إلى عوامل.
• المبرهنة الأساسية في الحسابيات.
• غربال إراتوستينس.
• التمثيل القانوني لعدد صحيح موجب
• قضبان كويزنير
• خوارزمية شوور.
• فيزياء رياضية
• تحليل إلى عوامل
• جدول القواسم

المصادر

1. "On commutative and associative powers" نسخة محفوظة 23 سبتمبر 2020 على موقع واي باك مشين.
2. "Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition"
3. "Rational solutions of xy = yx" نسخة محفوظة 31 مايو 2016 على موقع واي باك مشين.
4. "On the Rational Solutions of xy = yx" نسخة محفوظة 23 سبتمبر 2020 على موقع واي باك مشين.
5. History of the Theory of Numbers [الإنجليزية]
6. "Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt" نسخة محفوظة 02 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.
7. "The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1" نسخة محفوظة 17 ديسمبر 2019 على موقع واي باك مشين.
8. الرياضيات الأمريكية الشهرية