متسلسلة ماكلورين

إذا كانت${\displaystyle x_{0}=0\,}$ في متسلسلة تايلور، يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين. سميت السلسلة على اسم عالم الرياضيات الإسكتلندي كولين ماكلورين.[1]

تعريف

إذا كانت الدالة الرياضية ${\displaystyle f(x)}$ قابلة للاشتقاق ${\displaystyle n}$ مرة في النقطة ${\displaystyle {x}_{0}\!}$ فإنه يمكن كتابتها كما يلي:[2]

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x)\!}$

إذا عوضت ${\displaystyle n}$ بلانهاية فإنه يُحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة ${\displaystyle f}$ أي أن الجزء ${\displaystyle R_{n}(x)\!}$ يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط ${\displaystyle x}$:[2][3]

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}$

أو

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$

إذا كانت ${\displaystyle x_{0}=0\,}$ في هذه المتسلسلة يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين:[4]

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}(x)+{\frac {f''(0)}{2!}}(x)^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}(x)^{3}+\cdots }$

أمثلة

${\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\dots }$

${\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots }$

${\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots }$

${\displaystyle \ln(x+1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots .}$

${\displaystyle {\cosh x=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\left({2n}\right)!}}}={1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}+{{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots }}$

${\displaystyle {\sinh x=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{\left({2n+1}\right)!}}}={x+{\frac {x^{3}}{3!}}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots }}$

وصلات داخلية

• متسلسلة تايلور
• متسلسلة (رياضيات)
• كولين ماكلورين

مراجع

1. I. Bronstein, K. Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-2006-0, S. 434.
2. Rudin, Walter (1980), Real and Complex Analysis (بالإنجليزية), New Dehli: McGraw-Hill, p. 418, Exercise 13, ISBN:0-07-099557-5
3. Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Functional analysis and semi-groups, AMS Colloquium Publications (بالإنجليزية), American Mathematical Society, vol. 31, pp. 300–327.
4. Weisstein, Eric W. "Maclaurin Series". mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2020-11-30. Retrieved 2020-11-30.