ar %D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9 %D9%85%D9%8A%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%86

مبرهنة ميلمان (بالإنجليزية: Millman's theorem)‏^[1] في الهندسة الكهربائية هي حالة خاصة لقانون العقد وهي مبرهنة تمكن من تحديد قيمة الجهد الكهربي عند عقدة تلتقي فيها مجموعة من الفروع على التوازي. سميت هذه المبرهنة نسبة للكهربائي الأمريكي جاكوب ميلمان.

نص المبرهنة

في دارة كهربائية مكونة من عدة فروع مركبة على التوازي، بحيث يتكون كل فرع من مولد توتر مثالي على التوالي مع عنصر خطي. الجهد الكهربائي الناتج عند العقدة هو مجموع جداءات كل جهد ومسامحة الفرع المتصل به، الكل مقسوم على مجموع المسامحات الكهربية.

$V_{M}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}E_{k}.Y_{k}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}Y_{k}}}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {E_{k}}{Z_{k}}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{Z_{k}}}}}$ .

نسمي $Y_{k}$ المسامحة الكهربائية وهي مقلوب المعاوقة الكهربائية $Z_{k}$ ، ( $Y_{k}={\frac {1}{Z_{k}}}$ ).

في حالة شبكة مكونة من مقاومات فقط:

$V_{M}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}E_{k}.G_{k}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}G_{k}}}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {E_{k}}{R_{k}}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{R_{k}}}}}$

يمكن أن نبين هذه المبرهنة باعتماد مبرهنة نوترون، بحيث يستبدل كل فرع بمولد نورتون المكافئ، وبالتالي فإن مجموع شدات التيار الصادرة عن كل المولدات تمر عبر مواصلة كهربائية تساوي مجموع مواصلات كل فرع. يمكن قانون أوم بالتالي من تحديد الجهد.

أمثلة

في الدائرة جانبه، تم حساب الجهد $V_{ab}$ حسب مبرهنة ميلمان:

$={\frac {{\dfrac {10}{5}}+{\dfrac {0}{8}}+{\dfrac {-12}{3}}}{{\dfrac {1}{5}}+{\dfrac {1}{8}}+{\dfrac {1}{3}}}}=-3V$ $V_{ab}={\frac {{\dfrac {V_{1}}{R_{1}}}+{\dfrac {V_{2}}{R_{2}}}+{\dfrac {V_{3}}{R_{3}}}}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{2}}}+{\dfrac {1}{R_{3}}}}}$

الإشارة السالبة تشير إلى أن الجهد عند النقطة $a$ سالب بالنسبة لأرضي الدائرة.

مثال:

في حالة مولدات الجهد غير المثالية (أنظر الشكل جنبه)، تضاف المقاومات الداخلية لكل مولد إلى مقاومة الفرع.

V={\frac {{\dfrac {E_{1}}{R_{1}+R_{2}}}+{\dfrac {E_{2}}{R_{3}+R_{4}}}}{{\dfrac {1}{R_{1}+R_{2}}}+{\dfrac {1}{R_{3}+R_{4}}}}}

V={\frac {{\dfrac {V_{1}}{R_{1}}}+{\dfrac {V_{2}}{R_{3}}}}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{3}}}}}

تطبيقات

تفيد مبرهنة ميلمان كثيرا في حالة $V_{M}$ منعدم، (مثلا في دوائر المكبر العملياتي، النظام الخطي) حيث لا داعي لتبسيط تعبير المقام.

انظر أيضًا

مراجع

^ Millman, Jacob (1940). "A Useful Network Theorem". Proceedings of the IRE 28 (9): 413–417. doi:10.1109/JRPROC.1940.225885. Retrieved 26 February 2015. نسخة محفوظة 22 يناير 2020 على موقع واي باك مشين.

[1] Millman, Jacob (1940). "A Useful Network Theorem". Proceedings of the IRE 28 (9): 413–417. doi:10.1109/JRPROC.1940.225885. Retrieved 26 February 2015. نسخة محفوظة 22 يناير 2020 على موقع واي باك مشين.

[1]