دالة متجهية

دالة ذات قيمة متجهية ، والتي يشار إليها أيضًا باسم دالة متجهية ، هي دالة رياضية لمتغير واحد أو أكثر يكون مداها عبارة عن مجموعة من المتجهات متعددة الأبعاد أو متجهات لا نهائية الأبعاد . يمكن أن تكون مدخلات الدالة المتجهية عدداً أو متجهًا (أي أن أبعاد المجال يمكن أن تكون 1 أو أكبر من 1) ؛ لا يتم تحديد بُعد مجال الدالة بواسطة بُعد النطاق.

مثال: اللولب

رسم بياني للدالة المتجهية r(Z) = 〈2 cos Z, 4 sin Z, Z〉

من الأمثلة الشائعة لدالة متجهية هي تلك التي تعتمد على متغير حقيقي واحد ${\displaystyle t}$ ، غالبًا ما تمثل الوقت ، مما ينتج متجهًا ${\displaystyle v(t)}$ كنتيجة. من حيث متجهات الوحدة القياسية ${\displaystyle i,j,k}$ لنظام الإحداثيات الديكارتية ، يتم تمثيل هذه الأنواع المحددة من الدوال المتجهية بواسطة علاقات مثل :

• ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }$

حيث ${\displaystyle f(t)}$ و${\displaystyle g(t)}$ و ${\displaystyle g(t)}$ هي دوال إحداثيات للمتغير t ، ومنطلق هذه الدالة ذات القيمة المتجهية هو تقاطع مجال الوظائف ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ و ${\displaystyle h}$ . يمكن تمثيل هذه الدوال المتجهية بطريقة مختلفة :

• ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle }$

المتجه ${\displaystyle r(t)}$ له ذيله في الأصل ورأسه عند الإحداثيات التي يتم اعطائها بواسطة الدالة.

في المستوى (2D)، يمكننا تمثيل الدوال المتجهية كالآتي :

• ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} }$ أو
• ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t)\rangle }$

الحالة الخطية

في الحالة الخطية ، يمكن التعبير عن الدالة المتجهية بواسطة المصفوفات :

${\displaystyle y=Ax+b}$

حيث ${\displaystyle y}$ عبارة عن متجه أبعاده هي ${\displaystyle n\times 1}$، ${\displaystyle x}$ هو متجه مدخل أبعاده هي ${\displaystyle k\times 1}$، و ${\displaystyle A}$ عبارة عن مصفوفة أبعادها هي ${\displaystyle n\times k}$ ، و b متجه n × 1 للمعلمات .

تستعمل الحالة الخطية غالبًا في تحليل الانحدار.

مشتق دالة متجهية ثلاثية الأبعاد

يمكن اشتقاق العديد من الدوال المتجهية ، مثل الدوال ذات القيمة العددية ، ببساطة عن طريق اشتقاق الإحداثيات في نظام الإحداثيات الديكارتية.[1] وهكذا ، إذا

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }$

هي دالة متجهية ، إذن فإشتقاقها هو

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=f'(t)\mathbf {i} +g'(t)\mathbf {j} +h'(t)\mathbf {k} }$

يقبل مشتق المتجه التأويل الفيزيائي التالي: إذا كان ${\displaystyle r(t)}$ يمثل موضع جسيم ، فإن المشتق هو سرعة هذا الجسيم

${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}}$

وبالمثل ، فإن مشتق السرعة هو التسارع

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} (t)}{dt}}=\mathbf {a} (t)}$

انظر أيضًا

• حقل متجهات
• منحنى
• تمثيل وسيطي

مراجع

1. Serge Lang (1987). Calculus of several variables (بالإنجليزية). {{استشهاد بكتاب}}: |عمل= تُجوهل (help) and روابط خارجية في |عمل= (help)

• Kane، Thomas R.؛ Levinson، David A. (1996)، "1–9 Differentiation of Vector Functions"، Dynamics Online، Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.، ص. 29–37
• Hu، Chuang-Gan؛ Yang، Chung-Chun (2013)، Vector-Valued Functions and their Applications، Springer Science & Business Media، ISBN:978-94-015-8030-4، مؤرشف من الأصل في 2021-06-29