Rangkap tiga Pythagoras

Sebuah rangkap tiga Pythagoras (atau umumnya disebut tripel Pythagoras) terdiri dari tiga bilangan bulat positif ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$, sehingga ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. Seperti sebuah rangkap tiga biasanya ditulis ${\displaystyle (a,b,c)}$, dan sebuah contoh yang terkenal adalah ${\displaystyle (3,4,5)}$. Jika ${\displaystyle (a,b,c)}$ adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka begitu juga dengan ${\displaystyle (ka,kb,kc)}$ untuk suatu bilangan bulat positif ${\displaystyle k}$. Sebuah rangkap Pythagoras primitif adalah salah satu di mana ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ adalah koprima (yaitu, mereka tidak mempunyai pembagi persekutuan lebih besar dari ${\displaystyle 1}$).^[1] Sebuah segitiga yang sisinya membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras disebut segitiga Pythagoras, dan selalu sebuah segitiga siku-siku.

Namanya diturunkan dari teorema Pythagoras, menyatakan bahwa setiap segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang memenuhi rumus ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$; demikian, rangkap tiga Pythagoras menggambarkan tiga panjang sisi bilangan bulat dari sebuah segitiga siku-siku. Namun, segitiga siku-siku dengan sisi tak bilangan bulat tidak membentuk rangkap tiga Pythagoras. Misalnya, segitiga dengan sisi ${\displaystyle a=b=1}$ dan ${\displaystyle c={\sqrt {2}}}$ merupakan sebuah segitiga siku-siku, tetapi ${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$ bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras karena ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ bukanlah sebuah bilangan bulat. Selain itu, ${\displaystyle 1}$ dan ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ tidak memiliki sebuah kelipatan persekutuan bilangan bulat karena ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ adalah irasional.

Rangkap tiga Pythagoras telah dikenal sejak waktu kuno. Catatan terlama yang dikenal dari Plimpton 322, sebuah loh tanah liat Babylonian dari sekitar 1800 SM, ditulis dalam sebuah sistem bilangan seksagesimal. Ini ditemukan oleh Edgar James Banks sesaat setelah tahun 1900, dan dijual ke George Arthur Plimpton pada tahun 1922, untuk $10.^[2]

Ketika menelusuri untuk penyelesaian bilangan bulat, persamaan ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ merupakan sebuah persamaan Diophantus. Demikian rangkap tiga Pythagoras adalah penyelesaian terlama yang diketahui mengenai sebuah persamaan Diophantus taklinear

Terdapat 16 rangkap tiga Pythagoras primitif sampai dengan 100:

${\displaystyle (3,4,5)}$	${\displaystyle (5,12,13)}$	${\displaystyle (8,15,17)}$	${\displaystyle (7,24,25)}$
${\displaystyle (20,21,29)}$	${\displaystyle (12,35,37)}$	${\displaystyle (9,40,41)}$	${\displaystyle (28,45,53)}$
${\displaystyle (11,60,61)}$	${\displaystyle (16,63,65)}$	${\displaystyle (33,56,65)}$	${\displaystyle (48,55,73)}$
${\displaystyle (13,84,85)}$	${\displaystyle (36,77,85)}$	${\displaystyle (39,80,89)}$	${\displaystyle (65,72,97)}$

Setiap titik-titik ini membentuk sebuah garis pemancar dalam plot pancar. Rangkap tiga Pythagoras kecil lainnya seperti ${\displaystyle (6,8,10)}$ tidak terdaftar karena mereka bukanlah primitf, misalnya ${\displaystyle (6,8,10)}$ merupakan kelipatan dari ${\displaystyle (3,4,5)}$.

Ini sebagai tambahannya merupakan sisa rangkap tiga Pythagoras primitif sampai dengan 300:

${\displaystyle (20,99,101)}$	${\displaystyle (60,91,109)}$	${\displaystyle (15,112,113)}$	${\displaystyle (44,117,125)}$
${\displaystyle (88,105,137)}$	${\displaystyle (17,144,145)}$	${\displaystyle (24,143,145)}$	${\displaystyle (51,140,149)}$
${\displaystyle (85,132,157)}$	${\displaystyle (119,120,169)}$	${\displaystyle (52,165,173)}$	${\displaystyle (19,180,181)}$
${\displaystyle (57,176,185)}$	${\displaystyle (104,153,185)}$	${\displaystyle (95,168,193)}$	${\displaystyle (28,195,197)}$
${\displaystyle (84,187,205)}$	${\displaystyle (133,156,205)}$	${\displaystyle (21,220,221)}$	${\displaystyle (140,171,221)}$
${\displaystyle (60,221,229)}$	${\displaystyle (105,208,233)}$	${\displaystyle (120,209,241)}$	${\displaystyle (32,255,257)}$
${\displaystyle (96,247,265)}$	${\displaystyle (69,260,269)}$	${\displaystyle (115,252,277)}$
${\displaystyle (160,231,281)}$	${\displaystyle (161,240,289)}$	${\displaystyle (68,285,293)}$

Rumus Euclid^[3] merupakan sebuah rumus dasar untuk menghasilkan rangkap tiga Pythagoras yang diberikan sebuah pasangan sembarang bilangan bulat ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ dengan ${\displaystyle m>n>0}$. Rumusnya menyatakan bahwa bilangan bulat

membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras. Rangkapya dihasilkan oleh rumus Euclid adalah primitif jika dan hanya jika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah koprima dan keduanya bukan bilangan ganjil. Ketika keduanya ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah ganjil, maka ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ akan menjad genap, dan rangkap tiganya tidak akan menjadi primitif, namun, membagi ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ oleh 2 akan menghasilkan sebuah rangkap tiga primitf ketika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah koprima dan keduanya ganjil.^[4]

Setiap rangkap tiga primitif muncul (setelah pertukaran ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, jika ${\displaystyle a}$ adalah genap) dari sebuah pasangan tunggal bilangan koprima ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$, salah satunya yang genap. Ini mengikuti bahwa terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif banyak. Hubungan ini mengenai ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ dengan ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ dari rumus Euclid direferensikan sepanjang sisa halaman ini.

Meski menghasilkan semua rangkap tiga primitif, rumus Euclid tidak menghasilkan semua rangkap tiga—contohnya, ${\displaystyle (9,12,15)}$ tidak dapat dihasilkan menggunakan bilangan bulat ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$. Ini dapat diperbaiki dengan memasukkan sebuah parameter tambahan ${\displaystyle k}$ ke rumusnya. Berikut ini akan menghasilkan semua rangkap tiga Pythagoras dengan tunggal:

${\displaystyle a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})}$

dimana ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$, dan ${\displaystyle k}$ adalah bilangan bulat positif dengan ${\displaystyle m>n}$, dan dengan ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah koprima dan keduanya bukanlah ganjil.

Bahwa rumus-rumus ini menghasilkan rangkap tiga Pythagoras dapat diverifikasikan dengan memperluas ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ menggunakan aljabar elementer dan memverifikasikan bahwa hasilnya sama dengan ${\displaystyle c^{2}}$. Karena setiap rangkap tiga Pythagoras dapat dibagi melalui oleh suatu bilangan bulat ${\displaystyle k}$ untuk memperoleh sebuah rangkap tiga primitif, setiap rangkap tiga dapat secara tunggal dengan menggunakan rumus dengan ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ untuk menghasilkan pasangan primitifnya dan kemudian mengalikan melalui oleh ${\displaystyle k}$ seperti dalam persamaan terakhirnya.

Memilih ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ dari barisan bilangan tertentu memberikan hasil yang menarik. Contohnya, jika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan Pell berturut-turut, ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ akan berbeda oleh 1.^[5]

Banyak rumus-rumsu untuk menghasilkan rangkap tiga dengan sifat-sifat khusus telah dikembangkan sejak zaman Euclid.

Kepuasannya mengenai rumus Euclid oleh ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ adalah cukup untuk segitiga menjadi Pythagoras rupanya dari fakta bahwa untuk bilangan bulat positif ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m>n}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ diberikan oleh rumus adalah bilangan positif semua, dan dari fakta bahwa

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}}$.

Sebuah bukti keperluannya bahwa ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ diungkapkan oleh rumus Euclid untuk suatu rangkap tiga Pythagoras priitif adalah sebagai berikut.^[6] Semua seperti rangkap tiga dapat ditulis sebagai ${\displaystyle (a,b,c)}$ dimana ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ dan ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, serta ${\displaystyle c}$ adalah koprima. Demikian juga, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ adalah koprima sepasangan (jika sebuah bilangan prima dibagi dua dari mereka, ini juga akan mendorong untuk membagi yang ketiganya). Karena ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah koprima, setidaknya salah satu darinya adalah ganjil, jadi kita dapat menganggap bahwa ${\displaystyle a}$ adalah ganjil, dengan menukarkan, jika diperlukan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$. Ini menyiratkan bahwa ${\displaystyle b}$ adalah genap dan ${\displaystyle c}$ adalah ganjil (jika ${\displaystyle b}$ adalah ganjil, ${\displaystyle c}$ akan menjadi genap, dan ${\displaystyle c^{2}}$ akan menjadi sebuah kelipatan dari 4, sementara ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ akan menjadi kongruen dengan 2 modulo 4, sebagai sebuah bilangan kuadrat ganjil adalah kongruen dengan 1 modulo 4).

Dari ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, kita memperoleh ${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}}$ dan karena itu ${\displaystyle (c-a)(c+a)=b^{2}}$. Maka ${\displaystyle {\frac {(c+a)}{b}}={\frac {b}{(c-a)}}}$. Karena ${\displaystyle {\frac {(c+a)}{b}}}$ adalah rasional, kita meletakkannya sama dengan ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ dalam jangka terendah. Demikian ${\displaystyle {\frac {(c-a)}{b}}={\frac {n}{m}}}$, menjadi timbal balik dari ${\displaystyle {\frac {(c+a)}{b}}}$. Lalu menyelesaikan

${\displaystyle {\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}}$

untuk ${\displaystyle {\frac {c}{b}}}$ dan ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ memberikan

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.}$

Karena ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ tereduksi dengan penuh, ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah koprima, dan mereka tidak dapat menjadi genap. Jika mereka keduanya ganjil, pembilang dari ${\displaystyle {\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}}$ akan menjadi sebuah kelipatan dari 4 (karena sebuah bilangan kuadrat ganjil kongruen dengan 1 modulo 4), dan penyebutnya ${\displaystyle 2mn}$ tidak akan menjadi sebuah kelipatan dari 4. Karena 4 akan menjadi faktor genap minimum mungkin dalam pembilang dan 2 akan menjadi faktor genap maksimum mungkin dalam penyebut, ini akan menyiratkan ${\displaystyle a}$ menjadi genap meskipun menentukannya sebagai ganjil. Demikian salah satu dari ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah ganjil dan lainnya adalah genap, dan pembilangnya dari dua pecahan dengan penyebut ${\displaystyle 2mn}$ adalah ganjil. Demikian pecahan-pecahan ini adalah tereduksi dengan penuh (sebuah bilangan prima ganjil membagi penyebut ini dibagi salah satu dari ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ tetapi bukan yang lainnya; demikian ini tidak membagi ${\displaystyle m^{2}\pm n^{2}}$). Salah satunya dapat demikian menyamakan penyebut, memberikan rumus Euclid.

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$ dengan ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah koprima dan paritas yang berlawanan.

Sebuah bukti yang lebih panjang tapi lebih umum diberikan di Maor (2007)^[7] dan Sierpiński (2003).^[8] Bukti lain diberikan dalam Persamaan Diophantus § Contoh rangkap tiga Pythagoras, sebagai sebuah contoh mengenai sebuah metode umum yang berlaku dengan setiap persamaan Diophantus homogen derajat dua.

Andaikan sisi segitiga Pythagoras memiliki panjang ${\displaystyle m^{2}-n^{2}}$, ${\displaystyle 2mn}$, ${\displaystyle m^{2}+n^{2}}$, dan menganggap sudutnya antara kaki dengan panjang ${\displaystyle m^{2}-n^{2}}$ dan hipotenusa dengan panjang ${\displaystyle m^{2}+n^{2}}$ dilambangkan sebagai ${\displaystyle \beta }$. Maka ${\displaystyle \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)={\frac {m}{n}}}$ dan nilai trigonometrik sudut penuhnya adalah ${\displaystyle \sin \beta ={\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}}$, dan ${\displaystyle \cos \beta ={\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}$, dan ${\displaystyle \tan \beta ={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}}$.^[9]

Varian berikut mengenai rumus Euclid terkadang lebih cocok, karena menjadi lebih simetrik dalam ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ (syarat paritas yang sama pada ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$)

Jika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah dua bilangan bulat ganjil sehingga ${\displaystyle m>n}$, maka

${\displaystyle a=mn,\ \,b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\ \,c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}}$

adalah tiga bilangan bulat membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras, yang adalah primitif jika dan hanya jika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ adalah koprima. Sebaliknya, setiap rangkap tiga Pythagoras primitif muncul (setelah pertukaran ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, jika ${\displaystyle a}$ adalah genap) dari sebuah pasangan tunggal ${\displaystyle m>n>0}$ mengenai bilangan bulat ganjil.

Sifat-sifat rangkap tiga Pythagoras primitif ${\displaystyle (a,b,c)}$ dengan ${\displaystyle a<b<c}$ (tanpa menentukan yang mana ${\displaystyle a}$ atau ${\displaystyle b}$ adalah genap daan yang mana ganjil) mencakup:

• ${\displaystyle {\frac {(c-a)(c-b)}{2}}}$ selalu sebuah bilangan kuadrat sempurna.^[10] Karena ini hanya sebuah syarat yang perlu tapi bukan yang cukup, ini dapat digunakan dalam pemeriksaan jika sebuah rangkap tiga bilangan yang diberikan bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras ketika mereka gagal melakukan uji. Contohnya, ${\displaystyle \{6,12,18\}}$ lolos ujinya bahwa ${\displaystyle {\frac {(c-a)(c-b)}{2}}}$ adalah sebuah bilangan kuadrat sempurna, tapi bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras.
• Ketika sebuah rangkap tiga bilangan ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka (${\displaystyle c}$ dikurangi kaki genap) dan satu setengah dari (${\displaystyle c}$ dikurangi kaki ganjil) adalah keduanya bilangan kuadrat sempurna; namun ini bukanlah sebuah syarat yang cukup, karena bilangan ${\displaystyle \{1,8,9\}}$ lolos uji bilangan kuadrat sempurna tapi bukanlah sebuah rangkap tiga ketika ${\displaystyle 1^{2}+8^{2}\neq 9^{2}}$.
• Sebanyak salah satu dari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ adalah sebuah bilangan kuadrat.^[11]
• Luas segitiga Pythagoras tidak dapat menjadi bilangan kuadrat^{[12]:p. 17} atau dua kali kuadrat^{[12]:p. 21} bilangan asli.
• Tepat salah satu dari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ adalah ganjil; ${\displaystyle c}$ adalah ganjil.^[8]:23–25
• Tepat salah satu dari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ habis dibagi oleh 3.^[8]:23–25
• Tepat salah satu dari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ habis dibagi oleh 4.^[8]
• Tepat salah satu dari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ habis dibagi oleh 5.^[8]
• Bilangan terbesar yang selalu membagi ${\displaystyle abc}$ adalah 60.^[13]
• Suatu bilangan gajil dari bentuk ${\displaystyle 2m+1}$, dimana ${\displaystyle m}$ adalah sebuah bilangan bulat dan ${\displaystyle m>1}$, dapat menjadi kaki ganjil rangkap tiga Pythagoras primitif. Lihat rangkap tiga Pythagoras primitif hampir samakaki di bagian bawah. Namun, hanya bilangan genap habis dibagi oleh 4 dapat menjadi kaki genap dari sebuah rangkap tiga Pythagoras primitif. Ini dikarenakan rumus Euclid untuk kaki genap yang diberikan di atas adalah ${\displaystyle 2mn}$ dan salah satu dari ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ harus genap.
• Hipotenusa ${\displaystyle c}$ adalah jumlah dari dua bilangan kuadrat. Ini memerlukan semua faktor prima menjadi prima dari bentuk 4n + 1.^[14] Oleh karena itu ${\displaystyle c}$ dari bentuk ${\displaystyle 4n+1}$. Sebuah barisan bilangan hipotenusa mungkin untuk rangkap tiga Pythagoras primitif dapat ditemukan di (barisan A008846 pada OEIS)
• Luasnya (${\displaystyle K={\tfrac {ab}{2}}}$) adalah sebuah bilangan kongruen^[15] habis dibagi 6.
• Dalam setiap rangkap tiga Pythagoras, jari-jari dari lingkaran dalam jari-jari dari tiga lingkaran singgung luar adalah bilangan asli. Secara spesifik, untuk sebuah rangkap tiga primitif, jari-jari dari lingkaran dalam adalah ${\displaystyle r=n(m-n)}$, dan jari-jari dari lingkaran singgung luar berlawanan dengan sisi ${\displaystyle m^{2}-n^{2}}$, ${\displaystyle 2mn}$, dan hipotenusa ${\displaystyle m^{2}+n^{2}}$ masing-masing ${\displaystyle m(m-n)}$, ${\displaystyle n(m+n)}$, dan ${\displaystyle m(m+n)}$.^[16]
• Adapun suatu segitiga siku-siku, kebalikan teorema Thales mengatakan bahwa diameter dar lingkaran luar sama dengan hipotenusa; karena itu untuk rangkap tiga primitif, diameter lingkaran luarnya adalah ${\displaystyle m^{2}+n^{2}}$, dan jari-jari lingkaran luar adalah setengahnya ini dan demkan merupakan bilangan rasonal tapi bukan bilangan bulat (karena ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ memiliki paritas yang berlawanan).
• Ketika luas segitiga Pythagoras dikalikan oleh kelengkungan lingkaran dalamnya dan 3 lingkaran singgung luar, hasilnya empat bilangan bulat positif ${\displaystyle w>x>y>z}$, masing-masing. Bilangan bulat ${\displaystyle -w,x,y,z}$ memenuhi Persamaan Lingkaran Descartes.^[17] Dengan setaranya, jari-jari dari lingkaran Soddy luar mengenai suatu segtga siku-siku sama dengan semiperimeternya. Pusat Soddy luarnya terletak di ${\displaystyle D}$, dimana ${\displaystyle ACBD}$ adalah sebuah persegi panjang, ${\displaystyle ACB}$ adalah segitiga siku-siku dan ${\displaystyle AB}$ adalah hipotenusanya.^{[17]:hlm. 6}
• Hanya dua sisi rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dengan secara bersamaan menjadi prmia karena oleh rumus Euclid untuk menghasilkan sebuah rangkap tiga Pythagoras, salah satu dari kakinya harus komposit dan genap.^[18] Namun, hanya satu sisi dapat menjad sebuah bilangan bulat pangkat sempurna ${\displaystyle p\geq 2}$ karena dua sisinya adalah bilangan bulat pangkat sempurna dengan eksponen ${\displaystyle p}$ yang sama akan menentang fakra bahwa tidak ada penyelesaian bilangan bulat untuk persamaan Diophantus ${\displaystyle x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}}$, dengan ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, dan ${\displaystyle z}$ menjadi koprima sepasangan.^[19]
• Tidak ada segitiga Pythagoras di mama hipotenusa dan satu kaki adalah kaki segitiga Pythagoras lainnya: ini adalah salah satu dari bentuk setara teorema segitiga siku-siku Fermat.^{[12]:p. 14}
• Setiap segitiga Pythagoras primitif memiliki sebuah rasio luas, ${\displaystyle K}$, untuk menguadratkan semiperimeter, ${\displaystyle s}$, yaitu tunggal dengan sendirinya dan diberikan oleh^[20]

${\displaystyle {\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(m-n)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}}$.

• Tidak ada segitiga Pythagoras primitif memiliki sebuah ketinggian bilangan bulat dari hipotenusanya, yaitu, setiap segtiga Pythagoras primitif adalah takteruraikan.^[21]
• Himpunan semua rangkap tiga Pythagoras primitif membentuk sebuah pohon terner berakar dalam cara yang alam; lihat Pohon rangkap tiga Pythagoras primitif.
• Baik bukan dari sudut lancip segitiga Pythagoras dapat menjadi sebuah bilangan rasional atau derajat.^[22] (Ini diikuti dari teorema Niven)

Sebagai tambahan, rangkap tiga Pythagoras khusus dengan sifat-sifat tertentu dapat dijamin untuk ada:

• Setap bilangan bulat lebih besar dari 2 tidak kongruen dengan 2 mod 4 (dengan kata lain, setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 yang bukan dari bentuk ${\displaystyle 4k+2}$) merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras. (Jika bilangna bulat memiliki bentuk ${\displaystyle 4k}$, salah satunya dapat mengambil ${\displaystyle n=1}$ dan ${\displaystyle m=2k}$ dalam rumus Euclid, jika blangan bulatnya adalah ${\displaystyle 2k+1}$, salah satunya dapat ambil ${\displaystyle n=k}$ dan ${\displaystyle m=k+1}$.)
• Setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras primtif atau takprimitif. Contohnya, bilangan bulat 6, 10, 14, dan 18 bukan bagian rangkap tiga primitif, tetapi merupakan bagian dari rangkap tiga takprimitif ${\displaystyle (6,8,10)}$, ${\displaystyle (14,48,50)}$ dan ${\displaystyle (18,80,82)}$.
• Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat satu. Seperti rangkap tiga adalah primitif perlu dan memiliki bentuk ${\displaystyle (2n+1,2n^{2}+2n,2n^{2}+2n+1)}$. Hasil ini dari rumus Euclid dengan berkomentar bahwa syaratnya menyiratkan bahwa rangkap tiganya adalah primitif dan harus membenarkan ${\displaystyle (m^{2}+n^{2})-2mn=1}$. Ini menyiratkan ${\displaystyle (m-n)^{2}=1}$, dan demikian ${\displaystyle m=n+1}$. Bentuk di atas dari hasil rangkap tiga mengenai substitusi ${\displaystyle m}$ untuk ${\displaystyle n+1}$ dalam rumus Euclid.
• Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat dua. Mereka semua primitif, dan diperoleh dengan meletakkan ${\displaystyle n=1}$ dalam rumus Euclid. Lebih umumnya, untuk setiap bilangan bulat ${\displaystyle k>0}$, terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki ganjil berbeda dengan ${\displaystyle 2k^{2}}$. Mereka diperoleh dengan menaruh ${\displaystyle n=k}$ dalam rumus Euclid.
• Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana dua kaki berbeda dengan tepat satu. Contohnya, ${\displaystyle 20^{2}+21^{2}=29^{2}}$, ini dihasilkan oleh rumus Euclid ketika ${\displaystyle {\frac {m-n}{n}}}$ adalah konvergen dengan ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• Untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle k}$, terdapat rangkap tiga Pythagoras ${\displaystyle k}$ dengan hipotenusa yang berbeda dan luas yang sama.
• Untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle k}$, terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif ${\displaystyle k}$ yang berbeda dengan kaki ${\displaystyle a}$ yang sama, dimana ${\displaystyle a}$ adalah suatu bilangan asli (Panjang dari kaki genap adalah ${\displaystyle 2mn}$, dan cukup untuk memilih ${\displaystyle a}$ dengan banyak faktorisasi, contohnya ${\displaystyle a=4b}$, dimana ${\displaystyle b}$ adalah sebuah darab bilangan prima ganjil ${\displaystyle k}$ yang berbeda; ini menghasilkan setidaknya ${\displaystyle 2^{k}}$ rangkap tiga primitif yang berbeda).^[8]:30
• Untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle n}$, terdapat setidaknya rangkap tiga Pythagoras ${\displaystyle n}$ yang berbeda dengan hipotenusa yang sama.^[8]:31
• Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya dengan bilangan kuadrat untuk keduanya hipotenusa ${\displaystyle c}$ dan jumlah dari kaki ${\displaystyle a+b}$. Menurut Fermat, yang paling terkecil seperti rangkap tiga^[23] memiliki sisi ${\displaystyle a=4\,565\,486\,027\,761}$, ${\displaystyle b=1\,061\,652\,293\,520}$, ${\displaystyle c=4\,687\,298\,610\,289}$. Disini ${\displaystyle a+b=2\,372\,159^{2}}$ dan ${\displaystyle c=2\,165\,017^{2}}$. Ini dihasilkan oleh rumus Euclid dengan nilai parameter ${\displaystyle m=2\,150\,905}$ dan ${\displaystyle n=246\,792}$.
• Terdapat segitiga Pythagoras takprimitif dengan ketinggian bilangan bulat dari hipotenusa.^[24][25] Seperti segitiga Pythagoras dikenal sebagai teruraikan karena mereka dapat dipisahkan sepanjang ketinggian ini menjadi dua pemisah dan segitiga Pythagoras lebih kecil.^[21]

Rumus Euclid untuk sebuah rangkap tiga Pythagoras

${\displaystyle a=2mn,\quad b=m^{2}-n^{2},\quad c=m^{2}+n^{2}}$

dapat dipahami dalam istilah dari geometri titik rasional pada satuan lingkaran (Trautman 1998).

Faktanya, sebuah titik dalam bidang Cartesius dengan koordinat ${\displaystyle (x,y)}$ menjadi miliki lingkaran satuan jika ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. Titiknya adalah rasional jika ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ adalah bilangan rasional, yaitu, jika terdapat bilangan bulat koprima ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ sehingga

${\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1}$.

Dengan mengalikan kedua anggota ${\displaystyle c^{2}}$, salah satunya dapat lihat bahwa titik rasional pada lingkaran adalah dalam berpadanan satu-ke-satu dengan rangkap tiga Pythagoras primitif.

Lingkaran satuan juga dapat didefinisikan oleh sebuah persamaan parametrik

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}}$.

Rumus Euclid untuk rangkap tiga Pythagoras berarti bahwa, kecuali untuk ${\displaystyle (-1,0)}$, sebuah titik pada lingkaran adalah rasional jika dan hanya jika nilainya berpadanan dari ${\displaystyle t}$ adalah sebuah bilangan rasional.

Ini adalah sebuah padanan antara titik pada lingkaran satuan dengan koordinat rasional dan rangkap tiga Pythagoras primitif. Di poin ini, rumus Euclid dapat diturunkan baik oleh metode trigonometri maupun dengan setara menggunakan projeksi stereografik.

Untuk pendekatan stereografik, andaikan bahwa ${\displaystyle P'}$ adalah sebuah titik pada sumbu-${\displaystyle x}$ dengan koordinat rasional

${\displaystyle P'=\left({\frac {m}{n}},0\right)}$.

Maka, ini dapat ditunjukkan oleh aljabar dasar bahwa titik ${\displaystyle P}$ memiliki koordinat

${\displaystyle P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right)}$.

Ini menetapkan bahwa setiap titik rasional dari sumbu-${\displaystyle x}$ berjalan lewat ke sebuah titik rasional dari lingkaran satuan. Sebaliknya, bahwa setiap titik rasional dari lingkaran satuan datang dari seperti sebuah titik dari sumbu-${\displaystyle x}$, mengikuti dengan menerapkan projeksi stereografik inversnya. Andaikan bahwa ${\displaystyle P(x,y)}$ merupakan sebuah titik dari lingkaran satuan dengan ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ bilangan rasional. Mka titik ${\displaystyle P'}$ diperoleh dari projeksi stereografik pada sumbu-${\displaystyle x}$ memiliki koordinat

${\displaystyle \left({\frac {x}{1-y}},0\right)}$

yang merupakan rasional.

Dalam istilah geometri aljabar, varietas aljabar mengenai titik rasional pada lingkaran satuan adalah birasional ke garis afin atas bilangan rasional. Demikian lingkaran satuan disebut sebuah lengkung rasional, dan ini adalah fakta yang memungkinkan sebuah parameterisasi eksplisit dari titik (bilangan rasional) pada hal itu melalui fungsi rasional.

Sebuah kekisi 2 dimensi merupakan sebuah larik beraturan mengenai titik terpencil dimana jika suatu satu titik dipilih sebagai titik asal Cartesius ${\displaystyle (0,0)}$, maka semua titik lainnya ada di ${\displaystyle (x,y)}$ dimana ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ mengembara di semua bilangan bulat positif dan negatif. Suatu segitiga Pythagoras dengan rangkap tiga ${\displaystyle (a,b,c)}$ dapat digambar dalam sebuah kekisi 2 dimensi dengan verteks di koordinat ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (a,0)}$, dan ${\displaystyle (0,b)}$. Jumlah langkah titik kekisi terletak sempurna dalam batas dari segitiga diberikan oleh ${\displaystyle {\frac {(a-1)(b-1)-\gcd {(a,b)}+1}{2}}}$;^[26] untuk rangkap tiga Pythagoras primitif, kekisi dalam ini adalah ${\displaystyle {\frac {(a-1)(b-1)}{2}}}$. Luasnya (oleh teorema Pick sama dengan satu lebih kecil dari jumlah langkah kekisi dalam ditambah setengah dari jumlah langkah kekisi batas) sama dengan ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}}$.

Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythagoras primitif membagi luas yang sama terjadi dengan segitiga dengan sisi ${\displaystyle (20,21,29)}$, ${\displaystyle (12,35,37)}$ dan luas umumnya adalah 210 (barisan A093536 pada OEIS). Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythgoras primitif membagi jumlah langkah kekisi dalam yang sama terjadi dengan ${\displaystyle (18108,252685,253333)}$, ${\displaystyle (28077,162964,165365)}$ dan jumlah kekisi dalam adalah 2287674594 (barisan A225760 pada OEIS). Tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi luas yang sama: ${\displaystyle (4485,5852,7373)}$, ${\displaystyle (3059,8580,9109)}$, ${\displaystyle (1380,19019,19069)}$ dengan luas 13123110. Hingga kini, tidak ada himpunan tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi jumlah langkah kekisi dalam.

Oleh rumus Euclid, semua rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari bilangan bulat ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ dengan ${\displaystyle m>n>0}$, ${\displaystyle m+n}$ adalah ganjil dan ${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$. Karena itu terdapat sebuah 1 ke 1 pemetaan rasional (dalam suku terkecil) ke rangkap tiga Pythagoras primitid dimana ${\displaystyle {\frac {n}{m}}}$ ada di dalam selang ${\displaystyle (0,1)}$ dan ${\displaystyle m+n}$ adalah ganjil.

Pemetaan terbalik dari sebuah rangkap tiga primitif ${\displaystyle (a,b,c)}$ dimana ${\displaystyle c>b>a>0}$ ke sebuah rasional ${\displaystyle {\frac {n}{m}}}$ dicapai dengan mempelajari dua jumlah ${\displaystyle a+c}$ dan ${\displaystyle b+c}$. Salah satu dari jumlah ini akan menjadi sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan ${\displaystyle (m+n)^{2}}$ dan lainnya akan menjadi dua kali sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan ${\displaystyle 2m^{2}}$. Ini kemudian mungkin untuk menentukan rasional ${\displaystyle {\frac {n}{m}}}$.

Dalam rangka untuk menghitung rangkap tiga Pythagoras primitif, rasionalnya dapat diungkapkan sebagai sebuah pasangan terurut ${\displaystyle (n,m)}$ dan dipetakan ke sebuah bilangan bulat menggunakan sebuah fungsi pasangan Cantor. Sebuah contoh dapat dilihat pada (barisan A277557 pada OEIS). Ini dimulai

${\displaystyle 8,18,19,32,33,34,\dots }$ dan memberikan rasional ${\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {2}{5}},{\frac {1}{6}},\dots }$ ini, ternyata, menghasilkan rangkap tiga primitif ${\displaystyle (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots }$

Rangkap tiga Pythagoras dapat juga disandikan menjadi sebuah matriks persegi dari bentuk

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}}$.

Sebuah matriks bentuk ini adalah simetrik. Lebih lanjut, determinan ${\displaystyle X}$ adalah

${\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2}}$

yang adalah nol tepatnya ketika ${\displaystyle (a,b,c)}$ adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras. Jika ${\displaystyle X}$ berpadanan dengan sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka sebagai sebuah matriks harus memiliki peringkat 1.

Karena ${\displaystyle X}$ adalah simetrik, ini mengikuti dari sebuah hasil dalam aljabar linear bahwa terdapat sebuah vektor kolom ${\displaystyle \xi ={\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}^{T}}$ sehingga darab luar

${\displaystyle X=2{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}[m\ n]=2\xi \xi ^{T}\,}$

(1)

berlaku, dimana ${\displaystyle T}$ melambangkan transpos matriks. Vektor ${\displaystyle \xi }$ disebut sebuah spinor (untuk grup Lorentz ${\displaystyle \mathrm {SO} (1,2)}$). Dalam istilah abstrak, rumus Euclidnya berarti bahwa setiap rangkap tiga Pythagoras primitif dapat ditulis sebagai darab luar dengan sendirinya mengenai sebuah spinor dengan entri-entri bilangna bulat, seperti di (1).

Grup modular ${\displaystyle \Gamma }$ adalah himpunan matriks 2×2 dengan entri-entri bilangan bulat

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

dengan determinan sama dengan satu: ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1}$. Himpunan ini membentuk sebuah grup, karena inversnya matriks dalam ${\displaystyle \Gamma }$ adalah lagi di ${\displaystyle \Gamma }$, karena merupakan darab dua matriks di ${\displaystyle \Gamma }$. Grup modular bertindak pada kumpulan semua spinor bilangan bulat. Lebih lanjut, grupny transitif mengenai kumpulan spinor bilangan bulat dengan entri-entri relatif prima. Untuk jika ${\displaystyle {\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}^{T}}$ memiliki entri-entri relatif prima, maka

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}}$

dimana ${\displaystyle u}$ dan ${\displaystyle v}$ dipilih (oleh algoritme Euclides) sehingga ${\displaystyle mu+nv=1}$.

Dengan bertindak pada spinor ${\displaystyle \xi }$ di (1), tindakan ${\displaystyle \Gamma }$ berjalan ke sebuah tindakan pada rangkap tiga Pythagoras, disediakan salah satunya memungkinkan untuk rangkap tiga dengan komponen negatif mungkin. Demikian jika ${\displaystyle A}$ adalah sebuah matriks di ${\displaystyle \Gamma }$, maka

${\displaystyle 2(A\xi )(A\xi )^{T}=AXA^{T}\,}$

(2)

memunculkan untuk sebuah tindakan pada matriks ${\displaystyle X}$ di (1). Ini tidak memberikan sebuah tindakan didefinisikan dengan baik pada rangkap tiga primitif, karena ini dapat mengambil sebuah rangkap tiga primitif ke yang takprimitif. Ini cocok pada poin ini (tiap Trautman 1998) untuk menyebut sebuah rangkap tiga ${\displaystyle (a,b,c)}$ standar jika ${\displaystyle c>0}$ dan baik ${\displaystyle (a,b,c)}$ adalah relatif prima maupun ${\displaystyle \left({\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}},{\frac {c}{2}}\right)}$ adalah relatif prima dengan ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$ adalah ganjil. Jika spinornya ${\displaystyle {\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}^{T}}$ memiliki entri-entri relatif prima, maka rangkap tiga iring ${\displaystyle (a,b,c)}$ ditentukan oleh (1) adalah sebuah rangkap tiga standar. Ini mengikuti bahwa tindakan dari grup modular adalah transitif mengenai himpunan rangkap tiga standar.

Secara bergantian, perhatian larangan untuk nilai-nilai tersebut dari ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ yang mana ${\displaystyle m}$ adalah ganjil dan ${\displaystyle n}$ adalah genap. Misalkan subgrup ${\displaystyle \Gamma (2)}$ dari ${\displaystyle \Gamma }$ menjadi kernel dari kehomomorfan grup

${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2})}$

dimana ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} _{2})}$ adalah grup linear khusus atas medan hingga ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ dari bilangan bulat modulo 2. Maka ${\displaystyle \Gamma (2)}$ adalah grup transformasi unimodular yang mempertahankan paritas setiap entri. Demikian jika entri pertama ${\displaystyle \xi }$ adalah ganjil dan entri kedua adalah genap, maka yang sama adalah benar dari ${\displaystyle A\xi }$ untuk semua ${\displaystyle A\in \Gamma (2)}$. Faktanya, terhadap tindakan (2), grup ${\displaystyle \Gamma (2)}$ bertindak secara transitif pada kumpulan rangkap tiga Pythagoras primitif (Alperin 2005).

Grup ${\displaystyle \Gamma (2)}$ merupakan grup bebas yang pembangkitnya adalah matriks

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}}$.

Akibatnya, setiap rangkap tiga Pythagoras primitif dapat diperoleh dalam sebuah cara yang unik sebagai sebuah darab salinan dari matriks ${\displaystyle U}$ dan ${\displaystyle L}$.

Melalui sebuah hasil dari (Berggren 1934), semua rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari segitiga ${\displaystyle (3,4,5)}$ dengan menggunakan tiga transformasi linear ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$, ${\displaystyle T_{3}}$ di bawah, dimana ${\displaystyle a,b,c}$ adalah sisi rangkap tiga:

	sisi baru ${\displaystyle a}$	sisi baru ${\displaystyle b}$	sisi baru ${\displaystyle c}$
${\displaystyle T_{1}}$	${\displaystyle a-2b+2c}$	${\displaystyle 2a-b+2c}$	${\displaystyle 2a-2b+3c}$
${\displaystyle T_{2}}$	${\displaystyle a+2b+2c}$	${\displaystyle 2a+b+2c}$	${\displaystyle 2a+2b+3c}$
${\displaystyle T_{3}}$	${\displaystyle -a+2b+2c}$	${\displaystyle -2a+b+2c}$	${\displaystyle -2a+2b+3c}$

Dengan kata lain, setiap rangkap tiga primitif akan menjadi sebuah "induk" untuk tiga tambahan rangkap tiga primitif. Mulai dari simpul awal dengan ${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle b=4}$, ${\displaystyle c=5}$, operasi ${\displaystyle T_{1}}$ menghasilkan rangkap tiga baru

${\displaystyle (3-(2\times 4)+(2\times 5),(2\times 3)-4+(2\times 5),(2\times 3)-(2\times 4)+(3\times 5))=(5,12,13)}$

dan dengan cara yang serupa ${\displaystyle T_{2}}$ dan ${\displaystyle T_{3}}$ menghasilkan rangkap tiga ${\displaystyle (21,20,19)}$ dan ${\displaystyle (15,8,17)}$.

Transformasi linear ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$, dan ${\displaystyle T_{3}}$ memiliki sebuah interpretasi geometrik dalam bahasa bentuk kuadrat. Mereka terhubung erat dengan (tapi tidak sama dengan) cerminan menghasilkan grup ortogonal ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}}$ atas bilangan bulat.^[27]

Secara bergantian, rumus Euclid dapat dianalisis dan dibuktikan menggunakan bilangan bulat Gauss.^[28] Bilangan bulat Gauss merupakan bilangan kompleks dari bentuk ${\displaystyle \alpha =u+vi}$, dimana ${\displaystyle u}$ dan ${\displaystyle v}$ adalah bilangan bulat biasa dan ${\displaystyle i}$ adalah akar kuadrat dari negatif satu. Satuan bilangan bulat Gauss adalah ${\displaystyle \pm 1}$ dan ${\displaystyle \pm i}$. Bilangan bulat biasa disebut bilangan bulat rasional dan dilambangkan sebagai ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Bilangan bulat Gauss dilambangkan sebagai ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$. Ruas sebelah kanan dari teorema Pythagoras dapat difaktorkan dalam bilangan bulat Gauss:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}=(a+bi)(a-bi)}$.

Sebuah rangkap tiga Pythagoras primitif adalah salah satu di mana ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah koprima, yaitu, mereka tidak membagi faktor bilangan prima dalam bilangan bulat. Untuk seperti sebuah rangkap tiga, baik ${\displaystyle a}$ maupun ${\displaystyle b}$ adalah genap, dan lainnya ganjil; dari ini, mengikuti bahwa ${\displaystyle c}$ juga ganjil.

Dua faktor ${\displaystyle z:=a+bi}$ dan ${\displaystyle z^{\star }:=a-bi}$ rangkap tiga Pythagoras setiap sama dengan kuadrat bilangan Gauss. Ini dapat dibuktikan menggunakan sifat bahwa setiap bilangan bulat Gauss dapat difaktorkan dengan unik menjadi bilangan prima Gauss sampai dengan satuan.^[29] (Faktorisasi tunggal ini diikuti dari dari fakta bahwa, bahasa kasarnya, sebuah versi dari algoritme Euclides dapat didefinisikan padanya.) Buktinya telah memiliki tiga langkah, Pertama, jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat, maka mereka juga tidak membagikan faktor prima dalam Gauss. (Asumsi ${\displaystyle a=gu}$ dan ${\displaystyle b=gv}$ dengan bilangan bulat Gauss ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle u}$, dan ${\displaystyle v}$ dan ${\displaystyle g}$ bukanlah sebuah satuan. Maka ${\displaystyle u}$ dan ${\displaystyle v}$ terletka pada garis yang sama melalui asalnya. Semua bilangan bulat Gauss pada seperti sebuah garis adalah kelipatan bilangan bulat mengenai suatu bilangan bulat Gauss ${\displaystyle h}$. Tapi kemudian bilangan bulat ${\displaystyle gh\neq \pm 1}$ membagi keduanya ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$.) Kedua, ini mengikuti bahwa ${\displaystyle z}$ dan ${\displaystyle z^{\star }}$ juga tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat Gauss. Untuk jika melakukannya, maka pembagi persekutuan ${\displaystyle \delta }$ juga akan membagi ${\displaystyle z+z^{\star }=2a}$ dan ${\displaystyle z-z^{\star }=2ib}$. Karena ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah koprima, yang menyiratkan bahwa ${\displaystyle \delta }$ membagi ${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)=i(1-i^{2})}$. Dari rumus ${\displaystyle c^{2}=zz^{\star }}$, yang ternyata akan menyiratkan bahwa ${\displaystyle c}$ adalah genap. Ketiga, karena ${\displaystyle c^{2}}$ adalah sebuah bilangan kuadrat, setiap bilangan prima Gauss dalam faktorisasinya adalah berganda, yaitu, muncul sebuah genap perkalian. Karena ${\displaystyle z}$ dan ${\displaystyle z^{\star }}$ tidak membagikan faktor prima, pengandaan ini juga benar untuknya. Karena itu, ${\displaystyle z}$ dan ${\displaystyle z^{\star }}$ adalah bilangan kuadrat.

Demikian, faktor pertamanya dapat ditulis

${\displaystyle a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2}}$, ${\displaystyle \quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}}$.

Bagian real dan imajiner persamaan ini memberikan dua rumus:

${\displaystyle {\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn\\\varepsilon =-1,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right)\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2}-n^{2}\right)\end{cases}}}$

Untuk suatu rangkap tiga Pythagoras primitif, pasti ada bilangan bulat ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ sehingga kedua persamaannya memenuhi. Karena itu, setiap rangkap tiga Pythagoras dapat dihasilkan untuk suatu pemilihan bilangan bulat ini.

Jika kita menganggap kuadratnya bilangan bulat Gauss, kita mendapatkan interpretasi langsung berikut mengenai rumus Euclid sebagai wakilan kuadrat sempurna bilangan Gauss.

${\displaystyle (m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni}$.

Menggunakan fakta bahwa bilangan bulat Gauss adalah sebuah ranah Euclides dan bahwa untuk sebuah bilangan bulat Gauss ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle \left|p\right|^{2}}$ selalu sebuah bilangan kuadrat ini, ini mungkin untuk menunjukkan bahwa sebuah rangkap tiga Pythagoras berpadanan dengan kuadrat bilangan bulat Gauss prima jika hipotenusanya adalah prima.

Jika bilangan bulat Gausas bukanlah prima, maka darab dua bilangan bulat Gauss ${\displaystyle p}$ dan ${\displaystyle q}$ dengan bilangan bulat ${\displaystyle \left|p\right|^{2}}$ dan ${\displaystyle \left|q\right|^{2}}$. Karena besarannya dikalikan dalam bilangan bulat Gauss, darabnya harus ${\displaystyle \left|p\right|\left|q\right|}$, yang ketika dikuadratkan untuk mencari sebuah rangkap tiga Pythagoras harus komposit. Kontrapositifnya melengkapi pembuktiannya.

Dengan acuan ke gambar dan definisi dari fokus elips, ${\displaystyle F_{1}}$ dan ${\displaystyle F_{2}}$, untuk suatu titik ${\displaystyle P}$ pada elips, ${\displaystyle F_{1}P+PF_{2}}$ adalah tetapan.

Karena titik ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ adalah keduanya elips, ${\displaystyle F_{1}A+AF_{2}=F_{1}B+BF_{2}}$. Karena simetri, ${\displaystyle F_{1}A+AF_{2}=F_{2}A'+AF_{2}=AA'=2AC}$, dan ${\displaystyle F_{1}B+BF_{2}=2BF_{2}}$. Karena itu, ${\displaystyle AC=BF_{2}}$.

Demikian, jika ${\displaystyle BCF_{2}}$ adalah sebuah segitiga sudut siku-siku dengan sisi integral, pemisahan dari fokus, eksentrisitas linear, sumbu pendek dan sumbu panjang juga bilangan bulat semua.^[30]

Terdapat sejumlah hasil mengenai sebaran rangkap tiga Pythagoras. Dalam plot pencar, sebuah bilangan mengenai pola yang jelas sudah nyata. Setiap kali ${\displaystyle (a,b)}$ mengenai sebuah pola primitif muncul dalam plot, semua kelipatan bilangan bulat ${\displaystyle (a,b)}$ juga muncul dalam plot, dan sifat ini menghasilkan penampakan garis yang memancar dari asalnya di diagram.

Dalam pencarnya, ada himpunan-himpunan pola parabolik dengan sebuah kerapatan tinggi titik-titik dan semua fokus pada asalnya, membuka dalam semua empat arah. Parabola yang berbeda memotong pada sumbu dan muncul untuk mencerminkan sumbu dengan sebuah sudut insidens 45 derajat, dengan sebuah parabola ketiga memasuki dalam sebuah mode tegak lurus. Dalam kuadran ini, setiap busur terpusat pada asalnya menunjukkan bahwa bagian dari parabola yang terletak di antara ujungnya dalam perpotongannya dengan rektum semi-latusnya.

Pola-pola ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{4n}}}$ adalah sebuah bilangan bulat, maka ${\displaystyle \left(a,\left|n-{\frac {a^{2}}{4n}}\right|,n+{\frac {a^{2}}{4n}}\right)}$ adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras. (Faktanya setiap rangkap tiga Pythagoras ${\displaystyle (a,b,c)}$ dapat ditulis dalam hal ini dengan bilangan bulat ${\displaystyle n}$, kemungkinan setelah penukaran ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ ditukar, dan kurva padanan dengan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$. Jika ${\displaystyle a}$ beragam untuk diberikan ${\displaystyle n}$ (yaitu, pada sebuah parabola yang diberikan), nilai bilangan bulat ${\displaystyle b}$ berlangsung relatif dengan sering jika ${\displaystyle n}$ adalah sebuah bilangan kuadrat atau semua kelipatan kecil dari sebuah bilangan kuadrat. Jika beberapa di antara nilai-nilainya terjadi terletak berdekatan, parabola padanan hampir berimpit, dan kelompok rangkap tiganya dalam sebuah pita parabolik sempit. Contohnya ${\displaystyle 38^{2}=1444}$, ${\displaystyle 2\times 27^{2}=1458}$, ${\displaystyle 3\times 22^{2}=1452}$, ${\displaystyle 5\times 17^{2}=1445}$ dan ${\displaystyle 10\times 12^{2}=1440}$, pita parabolik padanan sekitar ${\displaystyle n\approx 1450}$ jelas terlihat dalam plot pencar.

Sifat-sifat sudut digambarkan di atas mengikuti dengan seketika dari bentuk fungsional dari parabola. Parabolanya dicerminkan pada sumbu-${\displaystyle a}$ pada ${\displaystyle a=2n}$, dan turunan ${\displaystyle b}$ terhadap ${\displaystyle a}$ pada titik ini adalah ${\displaystyle -1}$, karena itu sudut insidensnya adalah ${\displaystyle 45^{\circ }}$. Karena kelompok, seperti semua rangkap tiga, berulang pada kelipatan bilangan bulat, nilai ${\displaystyle 2n}$ juga padanan dengan sebuah kelompok. Parabola padanan memotong sumbu-${\displaystyle b}$ pada sudut siku-siku di ${\displaystyle b=2n}$, dan karena itu cerminannya setelah saling tukar mengenai ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ memotong sumbu-${\displaystyle a}$ pada sudut siku-siku pada ${\displaystyle a=2n}$, tepat ketika parabola untuk ${\displaystyle n}$ dicerminkan pada sumbu-${\displaystyle a}$. (Yang sama tentu saja benar untuk ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ saling tukar.)

Albert Fässler dan lainnya menyediakan wawasan ke dalam arti penting mengenai parabola-parabola ini dalam konteks pemetaan konformal.^[31][32]

Kasus ${\displaystyle n=1}$ dari konstruksi rangkap tiga Pythagoras yang lebih umum untuk waktu yang lama. Proclus, dalam komentarnya untuk Proposisi ke-47 dari buku pertama Euclid's Elements, digambarkan sebagai berikut:

Metode tertentu untuk penemuan segitiga mengenai jenis ini diturunlan, salah satunya yang mana mereka merujuk ke Plato, dan lainnya ke Pythagoras. (Yang terakhir) dimulai dari bilangan ganjil. Untuk membuatnya bilangan ganjil lebih kecil dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku, maka ini mengambil kuadratnya, mengurangi persatuan dan memuat setengah beda lebih besar dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku; terakhir ini menambakan persatuan untuk ini dan demikian membentuk sisi-sisi yang tersisa. ...Untuk meotde Plato berdebat dari bilangan genap. Ini mengambil diberikan bilangan genap dan membuatnya salah satu dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku; maka, membagi dua bilangan ini dan menguadratkan bentuk hipotenusa, dan mengurangi persatuannya dari bilangna kuadat untuk membentuk sisi lainnya mengenai sudut siku-siku. ...Demikian ini membentuk segitiga yang sama yang diperoleh oleh metode lainnya.

Dalam bentuk persamaan, ini menjadi:

${\displaystyle a}$ adalah ganjil (Pythagoras, sekitar 540 SM):

${\displaystyle {\text{sisi }}a:{\text{sisi }}b={a^{2}-1 \over 2}:{\text{sisi }}c={a^{2}+1 \over 2}}$.

${\displaystyle a}$ adalah genap (Plato, sekitar 380 SM):

${\displaystyle {\text{sisi }}a:{\text{sisi }}b=\left({a \over 2}\right)^{2}-1:{\text{sisi }}c=\left({a \over 2}\right)^{2}+1}$.

Ini dapat ditunjukkan bahwa semua rangkap tiga Pythagoras dapat diperoleh, dengan skala ulang yang sesuai, dari barisan Platonic dasar ${\displaystyle \left(a,{\frac {a^{2}-1}{2}}{\text{ dan }}{\frac {a^{2}+1}{2}}\right)}$ dengan memungkinkan ${\displaystyle a}$ untuk mengambil nilai rasional bukan bilangan bulat. Jika ${\displaystyle a}$ digantikan dengan pecahan ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ dalam barisan, hasilnya sama dengan pembangkit rangkap tiga 'standar' ${\displaystyle \left(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}\right)}$ setelah skala ulang. Ini mengikuti bahwa setiap rangkap tiga memiliki sebuah rasional padanan nilai ${\displaystyle a}$ yang dapat digunakan untuk menghasilkan sebuah segitiga sebangun (satu dengan tiga sudut yang sama dan dengan sisi-sisi dalam proposisi yang sama sebagai asalnya). Contohnya, setara Platonic ${\displaystyle (56,33,65)}$ dihasilkan oleh ${\displaystyle a={\frac {m}{n}}={\frac {7}{4}}}$ sebagai ${\displaystyle \left(a,{\frac {a^{2}-1}{2}},{\frac {a^{2}+1}{2}}\right)=\left({\frac {56}{32}},{\frac {33}{32}}.{\frac {65}{32}}\right)}$. Barisam Platonic sendiri dapat diturunkan^{[butuh klarifikasi]} dengan mengikuti langkah-langkah untuk "memisahkan kuadrat' digambarkan dalam Diophantus II. VIII.

Persamaan,

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$

setara dengan rangkap tiga Pythagoras khusus

${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}}$.

Ada sebuah jumlah penyelesaian yang takterhingga untuk persamaan ini karena meyelesaikan untuk peubahnya melibatkan sebuah kurva eliptik. Yang kecil adalah,

${\displaystyle a,b,c,d=-2634,955,1770,5400}$

Salah satu untuk menghasilkan penyelesaian untuk ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$ adalah untuk mengukur ${\displaystyle a,b,c,d}$ dalam suku bilangan bulat ${\displaystyle m,n,p,q}$ sebagai berikut:^[33]

${\displaystyle (m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}}$

Diberikan dua himpunan rangkap tiga Pythagoras,

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}}$

${\displaystyle (c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}}$

masalah mencari hasilkali yang sama mengenai sebuah sisi takhipotenusa dan hipotenusanya,

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})}$

dengan mudah dilihat menjadi setara dengan persamaannya,

${\displaystyle {\displaystyle a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}}}$

dan pertama kali dipecahkan oleh Euler sebagai ${\displaystyle a,b,c,d=133,59,158,134}$. Karena beliau menunjukkan ini adalah sebuah titik rasional dalam sebuah kurva eliptik, maka ada sebuah jumlah penyelesaian yang takhingga. Faktanya, dia juga menemukan sebuah parameterisasi polinomial derajat 7.

Untuk kasus teorema lingkaran Descartes dimana semua peubah adalah bilangan kuadrat,

${\displaystyle 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}$

Euler menunjukkan ini adalah setara dengan tiga rangkap tiga Pythagoras simultan,

${\displaystyle (2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$

${\displaystyle (2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}$

Terdapat juga jumlah penyelesaian yang takterhingga, dan untuk kasus khusus dimana ${\displaystyle a+b=c}$, maka persamaannya menyederhanakan ke,

dengan penyelesaian yang kecil sebagai ${\displaystyle a,b,c,d=3,5,8,14}$ dan dapat dipecahkan sebagai bentuk kuadratik biner.

Tidak ada rangkap tiga Pythagoras adalah sama kaki, karena rasio dari hipotenusa untuk salah satu sisi lainnya adalah √2, tapi √2 tidak dapat diungkapkan sebagia rasio 2 bilangan bulat.

Itu adalah, nbnamun, segitiga bersudut siku-siku dengan sisi integral untuk yang panjangnya dari sisi takhipotenusa berbeda dengan satunya, seperti,

${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$

dan jumlah lainnya takterhingga. Mereka dapat diukur lengkap sebagai,

${\displaystyle \left({\frac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{2}=y^{2}}$

dimana ${\displaystyle \{x,y\}}$ adalah penyelesaian untuk persamaan Pell ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$

Jika ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ adalah sisi-sisi tipe ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif, maka penyelesaian untuk persamaan Pell diberikan oleh rumus rekursif

${\displaystyle a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2}$ dengan ${\displaystyle a_{1}=3}$ dan ${\displaystyle a_{2}=20}$

${\displaystyle b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2}$ dengan ${\displaystyle b_{1}=4}$ dan ${\displaystyle b_{2}=21}$

${\displaystyle c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}}$ dengan ${\displaystyle c_{1}=5}$ dan ${\displaystyle c_{2}=29}$.^[34][35]

Barisan ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif membentuk batang pusat dari pohon terner berakar mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif.

Ketika ini sisi takhipotenusa yang panjang dan hipotenusa yang berbeda dengan satunya, seperti di

${\displaystyle 5^{2}+12^{2}=13^{2}}$

${\displaystyle 7^{2}+24^{2}=25^{2}}$

maka penyelesaian lengkap untuk rangkap tiga Pythagoras primitif ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ adalah

${\displaystyle a=2m+1}$, ${\displaystyle b=2m^{2}+2m}$, ${\displaystyle c=2m^{2}+2m+1}$

dan

${\displaystyle (2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}}$

dimana bilangan bulat ${\displaystyle m>0}$ adalah parameter pembangkit.

Ini menunjukkan bahwa semua bilangan ganjil (lebih dari 1) muncul dalam tipe ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif hampir sama kaki. Barisan rangkap tiga Pythagoras ini membentuk batang luar sisi sebelah kanan dari pohon terner berakar mengenai rangkap tiga Pythgoras primitif.

Sifat tipe ini lainnya mengenai rangkap tiga Pythagoras primtiif hampir sama kaki adalah bahwa sisi-sisinya berkaitan sehingga

${\displaystyle a^{b}+b^{a}=Kc}$

untuk suatu bilangan bulat ${\displaystyle K}$. Atau dengan kata lain ${\displaystyle a^{b}+b^{a}}$ habis dibagi oleh ${\displaystyle c}$ seperti di

${\displaystyle {\frac {5^{12}+12^{5}}{13}}=18799189}$.^[36]

Dimulai dengan 5, setiap bilangan Fibonacci adalah panjang dari hipotenus segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat, atau dengan kata lain, bilangan terbesar dalam sebuah rangkap tiga Pythagoras, diperoleh dari rumus

${\displaystyle (F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}}$.

Barisan segitiga Pythagiras diperoleh dari rumus ini memiliki sisi panjang

${\displaystyle (3,4,5),(5,12,13),(16,30,34),(39,80,89),\dots }$

Sisi tengah mengenai setiap segitiga ini adalah jumlah dari tiga sisi dari segitiga sebelumnya.^[37]

Terdapat beberapa cara untuk merampat konsep rangkap tiga Pythagoras.

Menggunakan identitas aljabar sederhana,

${\displaystyle (x_{1}^{2}-x_{0})^{2}+(2x_{1})^{2}x_{0}=(x_{1}^{2}+x_{0})^{2}}$

untuk sebarang ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle x_{1}}$, ini mudah untuk membuktikan bahwa bilangan kuadrat dari jumlah kuadrat ${\displaystyle n}$ adalah jumlah kuadrat ${\displaystyle n}$ itu sendiri dengan memisalkan ${\displaystyle x_{0}=x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}$ dan kemudian mendistribusikan suku-suku.^[38] Salah satunya dapat lihat bagaimana rangkap tiga dan rangkap empat Pythagoras hanyalah kasus khusus ${\displaystyle x_{0}=x_{2}^{2}}$ dan ${\displaystyle x_{0}=x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$, masing-masing, dan seterusnya untuk ${\displaystyle n}$ lain, dengan rangkap lima diberikan oleh

${\displaystyle (a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}+(2ab)^{2}+(2ac)^{2}+(2ad)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}$.

Karena jumlah ${\displaystyle F(k,m)}$ mengenai bilangan kuadrat berturutan ${\displaystyle k}$ diawali dengan ${\displaystyle m^{2}}$ diberikan oleh rumus,^[39]

${\displaystyle F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6}}}$

salah satunya dapat mencari nilai ${\displaystyle (k,m)}$ sehingga ${\displaystyle F(k,m)}$ adalah sebuah bilangan kuadrat, seperti saklah satunya oleh Hirschhorn dimana jumlah suku-suku adalah sebuah bilangan kuadrat itu sendiri,^[40]

${\displaystyle m={\frac {v^{4}-24v^{2}-25}{48}}}$, ${\displaystyle k=v^{2}}$, ${\displaystyle F(m,k)={\frac {v^{5}+47v}{48}}}$

dan ${\displaystyle v\geq 5}$ adalah suatu bilangan bulat tidak habs dibagi oleh 2 atau 3. Untuk kasus terkecil ${\displaystyle v=5}$, karena ${\displaystyle k=25}$, ini menghasilkan masalah pengepakan peluru meriam terkenal dari Lucas.

${\displaystyle 0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2}}$

sebuah fakta yang terhubung dengan kekisi Leech.

Sebagai tambahan, jka dalam sebuah rangkap-${\displaystyle n}$ Pythagoras (${\displaystyle n\geq 4}$), semua penambahan adalah berturutan kecuali satu, satunya dapat menggunakan persamaannya,^[41]

${\displaystyle F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}}$

Karena pangkat dua ${\displaystyle p}$ membatalkan, ini hanya linear dan dengan mudah dipecahkan sebab ketika ${\displaystyle p={\frac {F(k,m)-1}{2}}}$ meskipun ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle m}$ seharusnya dipilih sehingga ${\displaystyle p}$ adalah sebuah bilangan bulat, dengan sebuah contoh kecil menjadi ${\displaystyle k=5}$, ${\displaystyle m=1}$ menghasilkan,

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}}$

Demikian, salah satu cara untuk menghasilkan rangkap-${\displaystyle n}$ Pythagoras adalah dengan menggunakan, untuk berbagai ${\displaystyle x}$,^[42]

${\displaystyle x^{2}+(x+1)^{2}+\cdots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2}}$,

dimana ${\displaystyle q=n-2}$ dan dimana

${\displaystyle p={\frac {(q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1)}{6}}-1}{2}}}$.

Sebuah himpunan empat bilangan bulat positif ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, dan ${\displaystyle d}$ sehingga ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}}$ disebut rangkap empat Pythagoras. Contoh paling sederhananya adalah ${\displaystyle (1,2,2,3)}$, karena ${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}}$. Contoh (primitif) paling sederhana berikutnya adalah ${\displaystyle (2,3,6,7)}$ karena ${\displaystyle 2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}}$.

Semua rangkap empat diberikan oleh rumus

${\displaystyle (m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}+(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}=(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}}$.

Sebuah perampatan dari konsep rangkap tiga Pythagoras adalah penelusuran untuk rangkap tiga bilangan bulat positif ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ , sehingga ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$, untuk suatu ${\displaystyle n}$ sempurna lebih besar dari 2. Pierre de Fermat pada tahun 1637 mengklaim bahwa seperti rangkap tiga itu tidak ada, sebuah klaim yang datang diketahui sebagai Teorema Terakhir Fermat karena ini mengambil lebih lama dari suatu konjektur lainnya oleh Fermat untuk dibuktikan atau dibantah. Bukti pertama diberikan oleh Andrew Wiles pada tahun 1994.

Perampatan lainnya adalah penelusuran untuk barisan bilangan bulat positif ${\displaystyle n+1}$ untuk yang bilangan pangkat ke-${\displaystyle n}$ terakhirnya adalah jumlah pangkat ke-${\displaystyle n}$ dari suku sebelumnya. Barisan terkecil untuk nilai ${\displaystyle n}$ yang dikenal adalah:

• ${\displaystyle n=3\colon \{3,4,5;6\}}$
• ${\displaystyle n=4\colon \{30,120,272,315;353\}}$
• ${\displaystyle n=5\colon \{19,43,46,47,67;72\}}$
• ${\displaystyle n=7\colon \{127,258,266,413,430,439,525;568\}}$
• ${\displaystyle n=8\colon \{90,223,478,524,748,1088,1190,1324;1409\}}$

Untuk kasus ${\displaystyle n=3}$, di mana ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}}$, disebut kubik Fermat, sebuah rumus umum ada memberikan semua penyelesaian.

Sebuah sedikit perampatan yang berbeda memungkinkan jumlah pangkat ke-${\displaystyle (k+1)}$ menyamakan jumlah pangkat ke-${\displaystyle (n-k)}$. Contohnya:

• ${\displaystyle (n=3)\colon 1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}}$, dibuat terkenal oleh ingatan Hardy mengenai sebuah percakapan dengan Ramanujan tentang bilangan 1729 menjadi bilangan terkecil yang dapat diungkapkan sebagai sebuah jumlah dua kubik dalam dua cara yang berbeda.

Ini juga ada bilangan bulat positif ${\displaystyle n-1}$ yang jumlah pangkat ke-${\displaystyle n}$ (meskipun, oleh teorema terakhir Fermat, bukan untuk ${\displaystyle n=3}$); ini adalah contoh berlawanan dengan jumlah Euler mengenai konjektur pangkat. Contoh berlawanan terkecil yang dikenal adalah^[43][44][13]

• ${\displaystyle n=4\colon (95800,217519,414560;422481)}$
• ${\displaystyle n=5\colon (27,84,110,133;144)}$

Sebuah segitiga Heron biasanya didefinisikan sebagai salah satunya dengan sisi bilangan bulat yang luasnya juga sebuah bilangan bulat, dan kita harus menganggap segitiga Heron dengan sisi bilangan bulat yang berbeda. Panjang dari sisi seperti sebuah segitiga membentuk sebuah rangkap tiga Heron ${\displaystyle (a,b,c)}$ disediakan ${\displaystyle a<b<c}$. Setiap rangkap tiga Pythagoras adalah sebuah rangkap tiga Heron, karena setidaknya salah satu dari kaki ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ harus menjadi genap dalam sebuah rangkap tiga Pythagoras, jadi luasnya ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}}$ adalah sebuah bilangan bulat. Tidak setiap rangkap tiga Heorn adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, namun, sebagai contoh ${\displaystyle (4,13,15)}$ dengan luas 24 yang ditunjukkan.

Jika ${\displaystyle (a,b,c)}$ adalah sebuah rangkap tiga Heron, begitu juga ${\displaystyle (ma,mb,mc)}$ dimana ${\displaystyle m}$ adalah suatu bilangan bulat positif; luasnya akan menjadi bilangan bulat yaitu ${\displaystyle m^{2}}$ dikali luas bilangan bulat dari segitiga ${\displaystyle (a,b,c)}$. Rangkap tiga Heron ${\displaystyle (a,b,c)}$ adalah primitif disediakan ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ adalah koprima sehimpunan. (Dengan rangkap tiga Pythagoras primitif, pernyataan yang lebih kuat yang mereka adalah koprima sepasangan juga menerapkan, tapi dengan segitiga Heron primitif, pernyataan yang lebih kuat tidak selalu berlaku benar, seperti dengan ${\displaystyle (7,15,20)}$.) Disini ada beberapa rangkap tiga Heron primitif paling sederhana yang bukan rangkap tiga Pythagoras:

${\displaystyle (4,13,15)}$ dengan luas ${\displaystyle 24}$

${\displaystyle (3,25,26)}$ dengan luas ${\displaystyle 36}$

${\displaystyle (7,15,20)}$ dengan luas ${\displaystyle 42}$

${\displaystyle (6,25,29)}$ dengan luas ${\displaystyle 60}$

${\displaystyle (11,13,20)}$ dengan luas ${\displaystyle 66}$

${\displaystyle (13,14,15)}$ dengan luas ${\displaystyle 84}$

${\displaystyle (13,20,21)}$ dengan luas ${\displaystyle 126}$

Oleh rumus Heron, syarat tambahan untuk sebuah rangkap tiga bilangan bulat ${\displaystyle (a,b,c)}$ dengan ${\displaystyle a<b<c}$ menjadi Heron adalah

${\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}$

atau dengan setara

${\displaystyle 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}$

menjadi bilangan kuadrat sempurna taknol habis dibagi 16.

Rangkap tiga Pythagoras primitif telah digunakan dalam kriptografi sebagai barisan acak dan untuk generasi kunci.

• Aritmetika modular
• Batu bata Euler
• Bilangan prima Pythagoras
• Bilangan takhipotenusa
• Diophantus II. VIII
• Identitas trigonometrik
• Kongruum
• Masalah rangkap tiga Pythagoras Boole
• Plimpton 322
• Rangkap tiga Eisenstein
• Rangkap empat Pythagoras
• Rumus setengah sudut tangen
• Segitiga bilangan bulat
• Segitiga Heron
• Teorema 90 Hilbert

1. ^ (Long 1972, hlm. 48)
2. ^ Robson, Eleanor (2002), "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322" (PDF), Mathematical Association of America Monthly, 109 (2): 105–120, doi:10.1080/00029890.2002.11919845  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. ^ Joyce, D. E. (June 1997), "Book X , Proposition XXIX", Euclid's Elements, Clark University 
4. ^ Mitchell, Douglas W. (July 2001), "An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples", The Mathematical Gazette, 85 (503): 273–5, doi:10.2307/3622017, JSTOR 3622017 
5. ^ https://oeis.org/A000129
6. ^ Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (2000), "Parametric representation of primitive Pythagorean triples", dalam Nelsen, Roger B., Proofs Without Words: More Exercises in Visual Thinking, II, Mathematical Association of America, hlm. 120, ISBN 978-0-88385-721-2, OCLC 807785075 
7. ^ Maor, Eli, The Pythagorean Theorem, Princeton University Press, 2007: Appendix B.
8. ^ ^{a b c d e f g} Sierpiński, Wacław (2003), Pythagorean Triangles, Dover, pp. iv–vii, ISBN 978-0-486-43278-6 
9. ^ Houston, David (1993), "Pythagorean triples via double-angle formulas", dalam Nelsen, Roger B., Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, hlm. 141, ISBN 978-0-88385-700-7, OCLC 29664480 
10. ^ Posamentier, Alfred S. (2010), The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty, Prometheus Books, hlm. 156, ISBN 9781616141813 .
11. ^ Untuk ketidakberadaan penyelesaian dimana ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah keduanya bilangan kuadrat, awalnya dibuktikan oleh Fermat, lihat Koshy, Thomas (2002), Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, hlm. 545, ISBN 9780124211711 . Untuk kasus lainnya, di mana ${\displaystyle c}$ adalah salah satu dari bilangan kuadrat, lihat Stillwell, John (1998), Numbers and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, hlm. 133, ISBN 9780387982892 .
12. ^ ^{a b c} Carmichael, R. D., 1914, "Diophantine analysis," in second half of R. D. Carmichael, The Theory of Numbers and Diophantine Analysis, Dover Publ., 1959.
13. ^ ^{a b} MacHale, Des; van den Bosch, Christian (March 2012), "Generalising a result about Pythagorean triples", Mathematical Gazette, 96: 91–96, doi:10.1017/S0025557200004010 
14. ^ Sally, Judith D. (2007), Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems, American Mathematical Society, hlm. 74–75, ISBN 9780821872673 .
15. ^ Ini mengikuti secepatnya dari fakta bahwa ${\displaystyle ab}$ habis dibagi duabelas, bersama dengan definisi bilangan kongruen sebagai luas segitiga kanan dengan sisi rasional. Lihat misalnya Koblitz, Neal (1993), Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics, 97, Springer, hlm. 3, ISBN 9780387979663 .
16. ^ Baragar, Arthur (2001), A Survey of Classical and Modern Geometries: With Computer Activities, Prentice Hall, Exercise 15.3, p. 301, ISBN 9780130143181 
17. ^ ^{a b} Bernhart, Frank R.; Price, H. Lee (2005). "Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles". arΧiv:math/0701624. 
18. ^ "OEIS A237518". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 
19. ^ H. Darmon and L. Merel. Winding quotients and some variants of Fermat’s Last Theorem, J. Reine Angew. Math. 490 (1997), 81–100.
20. ^ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; Wulf, Daniel B. (May 2008), "Heron triangles and moduli spaces", Mathematics Teacher, 101: 656–663, doi:10.5951/MT.101.9.0656 
21. ^ ^{a b} Yiu, Paul (2008), Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles (PDF), 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, hlm. 17 
22. ^ Weisstein, Eric W. "Rational Triangle". MathWorld. 
23. ^ Pickover, Clifford A. (2009), "Pythagorean Theorem and Triangles", The Math Book, Sterling, hlm. 40, ISBN 978-1402757969 
24. ^ Voles, Roger, "Integer solutions of a⁻² + b⁻² = d⁻²," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
25. ^ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, Juli 2008, 313–317.
26. ^ Yiu, Paul (2003). "Recreational Mathematics" (PDF). Course Notes. Dept. of Mathematical Sciences, Florida Atlantic University. Bab. 2, hlm. 110. 
27. ^ (Alperin 2005)
28. ^ Stillwell, John (2002), "6.6 Pythagorean Triples", Elements of Number Theory, Springer, hlm. 110–2, ISBN 978-0-387-95587-2 
29. ^ Gauss CF (1832), "Theoria residuorum biquadraticorum", Comm. Soc. Reg. Sci. Gött. Rec., 4.  See also Werke, 2:67–148.
30. ^ "Derivation of standard equation for ellipse from the locus definition of an ellipse" (PDF). nebula.deanza.edu. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 5 July 2016. Diakses tanggal 18 July 2016.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
31. ^ 1988 Preprint Diarsipkan 2011-08-09 di Wayback Machine. See Figure 2 on page 3., later published as Fässler, Albert (June–July 1991), "Multiple Pythagorean number triples", American Mathematical Monthly, 98 (6): 505–517, doi:10.2307/2324870, JSTOR 2324870 
32. ^ Benito, Manuel; Varona, Juan L. (June 2002), "Pythagorean triangles with legs less than n", Journal of Computational and Applied Mathematics, 143 (1): 117–126, Bibcode:2002JCoAM.143..117B, doi:10.1016/S0377-0427(01)00496-4   as PDF
33. ^ Nahin, Paul. An Imaginary Tale: The Story of √−1, pp. 25–26.
34. ^ "OEIS A001652". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 
35. ^ "OEIS A001653". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 
36. ^ "OEIS A303734". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 
37. ^ Pagni, David (September 2001), "Fibonacci Meets Pythagoras", Mathematics in School, 30 (4): 39–40, JSTOR 30215477 
38. ^ "A Collection of Algebraic Identities: Sums of n Squares". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2012-03-06. Diakses tanggal 2021-05-04. 
39. ^ "Sum of consecutive cubes equal a cube". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-05-15.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
40. ^ Hirschhorn, Michael (November 2011), "When is the sum of consecutive squares a square?", The Mathematical Gazette, 95: 511–2, doi:10.1017/S0025557200003636, ISSN 0025-5572, OCLC 819659848 
41. ^ Goehl, John F. Jr. (May 2005), "Reader reflections", Mathematics Teacher, 98 (9): 580, doi:10.5951/MT.98.9.0580 
42. ^ Goehl, John F., Jr., "Triples, quartets, pentads", Mathematics Teacher 98, May 2005, p. 580.
43. ^ Kim, Scott (May 2002), "Bogglers", Discover: 82, The equation w⁴ + x⁴ + y⁴ = z⁴ is harder. In 1988, after 200 years of mathematicians' attempts to prove it impossible, Noam Elkies of Harvard found the counterexample, 2,682,440⁴ + 15,365,639⁴ + 18,796,760⁴ = 20,615,673⁴. 
44. ^ Elkies, Noam (1988), "On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴", Mathematics of Computation, 51 (184): 825–835, doi:10.2307/2008781, JSTOR 2008781, MR 0930224 

• Alperin, Roger C. (2005), "The modular tree of Pythagoras" (PDF), American Mathematical Monthly, 112 (9): 807–816, CiteSeerX 10.1.1.112.3085 , doi:10.2307/30037602, JSTOR 30037602, MR 2179860 ]
• Berggren, B. (1934), "Pytagoreiska trianglar", Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (dalam bahasa Swedia), 17: 129–139 
• Barning, F.J.M. (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (PDF), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. (dalam bahasa Belanda), ZW-011: 37 
• Eckert, Ernest (1992), "Primitive Pythagorean triples", The College Mathematics Journal, 23 (5): 413–417, doi:10.2307/2686417, JSTOR 2686417 
• Elkies, Noam, Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90 (PDF) 
• Heath, Thomas (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements Vol. 1 (Books I and II) (edisi ke-2nd), Dover Publications, ISBN 978-0-486-60088-8 
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (edisi ke-2nd), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77171950 
• Martin, Artemas (1875), "Rational right angled triangles nearly isosceles", The Analyst, 3 (2): 47–50, doi:10.2307/2635906, JSTOR 2635906 
• McCullough, Darryl (2005), "Height and excess of Pythagorean triples" (PDF), Mathematics Magazine, 78 (1): 26–44, doi:10.1080/0025570X.2005.11953298  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Romik, Dan (2008), "The dynamics of Pythagorean triples" (PDF), Trans. Amer. Math. Soc., 360 (11): 6045–6064, arXiv:math.DS/0406512 , doi:10.1090/S0002-9947-08-04467-X , MR 2425702 
• Teigen, M.G.; Hadwin, D.W. (1971), "On Generating Pythagorean Triples", The American Mathematical Monthly, 78 (4): 378–379, doi:10.2307/2316903, JSTOR 2316903 
• TTrautman, Andrzej (1998), "Pythagorean spinors and Penrose twistors", dalam S.A. Hugget; L.J. Mason; K.P. Tod; S.T. Tsou; N.M.J. Woodhouse, Geometric universe (Postscript) 

• Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
• Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
• Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Pythagorean numbers", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Interactive Calculator for Pythagorean Triples
• The negative Pell equation and Pythagorean triples
• Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
• Price, H. Lee (2008). "The Pythagorean Tree: A New Species". arΧiv:0809.4324 [math.HO]. 
• Pythagorean Triples and the Unit Circle, bab 2–3, di "A Friendly Introduction to Number Theory" oleh Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
• Pythagorean Triples di cut-the-knot Interactive Applet menunjukkan hubungan lingkaran satuan dengan Rangkap Tiga Pythagoras
• Pythagorean Triplets
• The Remarkable Incircle of a Triangle
• Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
• Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
• The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples di cut-the-knot
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Pythagorean Triple". MathWorld.