Persamaan Abel

Persamaan Abel, dinamai Niels Henrik Abel, adalah sejenis persamaan fungsional yang dapat ditulis dalam bentuk

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$

atau, setara,

${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}$

dan mengontrol iterasi f.

Persamaan ini ekuivalen. Dengan asumsi bahwa α adalah fungsi invers, persamaan kedua dapat ditulis sebagai

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}$

Pengambilan x = α⁻¹(y), persamaan dapat ditulis sebagai

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

Untuk fungsi f ( x ) diasumsikan diketahui, tugasnya adalah menyelesaikan persamaan fungsional untuk fungsi tersebut α⁻¹≡h, possibly satisfying additional requirements, such as α⁻¹(0) = 1.

Perubahan variabel s^α(x) = Ψ(x), untuk parameter nyata s, membawa persamaan Abel ke dalam persamaan Schröder terkenal, Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .

The further change F(x) = exp(s^α(x)) into Böttcher's equation, F(f(x)) = F(x)^s.

Persamaan Abel adalah kasus khusus (dan mudah digeneralisasikan menjadi) persamaan translasi,^[1]

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}$

e.g., for ${\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}$,

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$.     (Observe ω(x,0) = x.)

Fungsi Abel α(x) selanjutnya menyediakan koordinat kanonik untuk aliran advektif Lie (satu parameter grup Lie).

Awalnya, persamaan dalam bentuk yang lebih umum ^{[2] [3]} was reported. Even in the case of a single variable, the equation is non-trivial, and admits special analysis.^{[4] [5][6]}

Dalam kasus fungsi transfer linier, solusinya dapat diekspresikan dengan kompak. ^[7]

Persamaan tetrasi adalah kasus khusus dari persamaan Abel, dengan f = exp.

Dalam kasus argumen integer, persamaan mengkodekan prosedur berulang, misalnya,

${\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}$

dan seterusnya,

${\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}$

• solusi formal: unik (menjadi konstanta)^[8] (Not sure, because if ${\displaystyle u}$ is solution, then ${\displaystyle v(x)=u(x)+\Omega (u(x))}$, where ${\displaystyle \Omega (x+1)=\Omega (x)}$, is also solution^[9].)
• solusi analitik (koordinat Fatou) = perkiraan oleh ekspansi asimtotik dari fungsi yang ditentukan oleh deret pangkat di sektor sekitar parabola^[10]
• Keberadaan: Persamaan Abel memiliki setidaknya satu solusi di ${\displaystyle E}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle \forall x\in E,\forall n\in \mathbb {N} ,f^{(n)}(x)\neq x}$, dimana ${\displaystyle f^{(n)}=f\circ f\circ ...\circ f}$, n times.^[11]

Koordinat Fatou menggambarkan dinamika lokal dari sistem dinamik diskrit di dekat sebuah titik tetap parabola.

• Persamaan fungsional
  • Persamaan Schröder
  • Persamaan Böttcher
• Komposisi tak hingga dari fungsi analitik
• Fungsi berulang
• Operator shift
• Superfungsi

1. ^ Aczél, János, (1966): Kuliah tentang Persamaan Fungsional dan Aplikasinya, Academic Press, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232 .
2. ^ Abel, N.H. (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ..." Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1: 11–15. 
3. ^ A. R. Schweitzer (1912). "Theorems on functional equations". Bull. Amer. Math. Soc. 19 (2): 51–106. doi:10.1090/S0002-9904-1912-02281-4 . 
4. ^ Korkine, A (1882). "Sur un problème d'interpolation", Bull Sci Math & Astron 6(1) 228—242. online
5. ^ G. Belitskii; Yu. Lubish (1999). "The real-analytic solutions of the Abel functional equations" (PDF). Studia Mathematica. 134 (2): 135–141. 
6. ^ Jitka Laitochová (2007). "Group iteration for Abel's functional equation". Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 1 (1): 95–102. doi:10.1016/j.nahs.2006.04.002. 
7. ^ G. Belitskii; Yu. Lubish (1998). "The Abel equation and total solvability of linear functional equations" (PDF). Studia Mathematica. 127: 81–89. 
8. ^ Classifications of parabolic germs and fractal properties of orbits by Maja Resman, University of Zagreb, Croatia
9. ^ R. Tambs Lyche,ÉTUDES SUR L'ÉQUATION FONCTIONNELLE D'ABEL DANS LE CAS DES FONCTIONS RÉELLES., University of Trondlyim, Norvege
10. ^ Dudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis
11. ^ R. Tambs Lyche,Sur l'équation fonctionnelle d'Abel, University of Trondlyim, Norvege