Persamaan Abel

Artikel ini membahas tentang persamaan fungsional tertentu. Untuk persamaan diferensial biasa yang berbentuk kubik dalam fungsi yang tidak diketahui, lihat Persamaan abel jenis pertama.

Persamaan Abel, dinamai Niels Henrik Abel, adalah sejenis persamaan fungsional yang dapat ditulis dalam bentuk

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$

atau, setara,

${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}$

dan mengontrol iterasi f.

Kesetaraan

Persamaan ini ekuivalen. Dengan asumsi bahwa α adalah fungsi invers, persamaan kedua dapat ditulis sebagai

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}$

Pengambilan x = α^−1(y), persamaan dapat ditulis sebagai

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

Untuk fungsi f ( x ) diasumsikan diketahui, tugasnya adalah menyelesaikan persamaan fungsional untuk fungsi tersebut α^−1≡h, possibly satisfying additional requirements, such as α^−1(0) = 1.

Perubahan variabel s^α(x) = Ψ(x), untuk parameter nyata s, membawa persamaan Abel ke dalam persamaan Schröder terkenal, Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .

The further change F(x) = exp(s^α(x)) into Böttcher's equation, F(f(x)) = F(x)^s.

Persamaan Abel adalah kasus khusus (dan mudah digeneralisasikan menjadi) persamaan translasi,[1]

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}$

e.g., for ${\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}$,

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$.     (Observe ω(x,0) = x.)

Fungsi Abel α(x) selanjutnya menyediakan koordinat kanonik untuk aliran advektif Lie (satu parameter grup Lie).

Lihat pula: Fungsi Iterasi § Properti Abelian dan urutan Iterasi

Sejarah

Awalnya, persamaan dalam bentuk yang lebih umum [2] [3] was reported. Even in the case of a single variable, the equation is non-trivial, and admits special analysis.[4] [5][6]

Dalam kasus fungsi transfer linier, solusinya dapat diekspresikan dengan kompak. [7]

Kasus khusus

Persamaan tetrasi adalah kasus khusus dari persamaan Abel, dengan f = exp.

Dalam kasus argumen integer, persamaan mengkodekan prosedur berulang, misalnya,

${\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}$

dan seterusnya,

${\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}$

Solusi

• solusi formal: unik (menjadi konstanta)[8] (Not sure, because if ${\displaystyle u}$ is solution, then ${\displaystyle v(x)=u(x)+\Omega (u(x))}$, where ${\displaystyle \Omega (x+1)=\Omega (x)}$, is also solution[9].)
• solusi analitik (koordinat Fatou) = perkiraan oleh ekspansi asimtotik dari fungsi yang ditentukan oleh deret pangkat di sektor sekitar parabola[10]
• Keberadaan: Persamaan Abel memiliki setidaknya satu solusi di ${\displaystyle E}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle \forall x\in E,\forall n\in \mathbb {N} ,f^{(n)}(x)\neq x}$, dimana ${\displaystyle f^{(n)}=f\circ f\circ ...\circ f}$, n times.[11]

Koordinat Fatou menggambarkan dinamika lokal dari sistem dinamik diskrit di dekat sebuah titik tetap parabola.

Lihat pula

• Persamaan fungsional
  • Persamaan Schröder
  • Persamaan Böttcher
• Komposisi tak hingga dari fungsi analitik
• Fungsi berulang
• Operator shift
• Superfungsi

Referensi

1. Aczél, János, (1966): Kuliah tentang Persamaan Fungsional dan Aplikasinya, Academic Press, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232 .
2. Abel, N.H. (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ..." Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1: 11–15. 
3. A. R. Schweitzer (1912). "Theorems on functional equations". Bull. Amer. Math. Soc. 19 (2): 51–106. doi:10.1090/S0002-9904-1912-02281-4 . 
4. Korkine, A (1882). "Sur un problème d'interpolation", Bull Sci Math & Astron 6(1) 228—242. online
5. G. Belitskii; Yu. Lubish (1999). "The real-analytic solutions of the Abel functional equations" (PDF). Studia Mathematica. 134 (2): 135–141. 
6. Jitka Laitochová (2007). "Group iteration for Abel's functional equation". Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 1 (1): 95–102. doi:10.1016/j.nahs.2006.04.002. 
7. G. Belitskii; Yu. Lubish (1998). "The Abel equation and total solvability of linear functional equations" (PDF). Studia Mathematica. 127: 81–89. 
8. Classifications of parabolic germs and fractal properties of orbits by Maja Resman, University of Zagreb, Croatia
9. R. Tambs Lyche,ÉTUDES SUR L'ÉQUATION FONCTIONNELLE D'ABEL DANS LE CAS DES FONCTIONS RÉELLES., University of Trondlyim, Norvege
10. Dudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis
11. R. Tambs Lyche,Sur l'équation fonctionnelle d'Abel, University of Trondlyim, Norvege