Persamaan Schröder

Persamaan Schröder,^[1][2][3] dinamai Ernst Schröder, adalah persamaan fungsional dengan satu variabel independen: diberi fungsi h , temukan fungsinya {{math | Ψ} } seperti yang

${\displaystyle \forall x\;\;\;\Psi {\big (}h(x){\big )}=s\Psi (x).}$

Persamaan Schröder adalah persamaan nilai eigen untuk operator komposisi C_h, yang mengirimkan fungsi f untuk f(h(.)).

Jika a adalah titik pasti dari h, artinya h(a) = a, maka Ψ(a) = 0 (or ∞) atau s = 1. Jadi, asalkan Ψ(a) is finite dan Ψ′(a) tidak menghilang atau menyimpang, nilai eigen s diberikan oleh s = h′(a).

Untuk a = 0, if h bersifat analitik pada disk unit, perbaikan 0, dan 0 < |h′(0)| < 1, kemudian Gabriel Koenigs menunjukkan pada tahun 1884 bahwa ada Ψ analitik (non-trivial) yang memenuhi persamaan Schröder. Ini adalah salah satu langkah pertama dalam garis panjang teorema yang bermanfaat untuk memahami operator komposisi pada ruang fungsi analitik, lih. Fungsi Koenigs.

Persamaan seperti Schröder cocok untuk pengkodean kemiripan diri, dan dengan demikian telah digunakan secara luas dalam studi dinamika nonlinier (sering disebut bahasa sehari-hari sebagai teori chaos). Ini juga digunakan dalam studi tentang turbulensi, serta grup renormalisasi.^[4][5]

Bentuk transpos ekuivalen dari persamaan Schröder untuk invers Φ = Ψ⁻¹ fungsi konjugasi Schröder adalah h(Φ(y)) = Φ(sy). Perubahan variabel α(x) = log(Ψ(x))/log(s) (Fungsi Abel) selanjutnya mengubah persamaan Schröder menjadi persamaan Abel yang lebih lama, α(h(x)) = α(x) + 1. Similarly, the change of variables Ψ(x) = log(φ(x)) converts Schröder's equation to Böttcher's equation, φ(h(x)) = (φ(x))^s.

Apalagi untuk kecepatan,^[5] β(x) = Ψ/Ψ′,   Julia,   β(f(x)) = f′(x)β(x), menahan.

Pangkat ke- n solusi persamaan Schröder memberikan solusi persamaan Schröder dengan nilai eigen sⁿ, instead. In the same vein, for an invertible solution Ψ(x) dari persamaan Schröder, fungsi (tidak dapat dibalik) Ψ(x) k(log Ψ(x)) juga merupakan solusi, untuk fungsi periodik "apa saja" k(x) dengan titik log ( s ). Semua solusi persamaan Schröder terkait dengan cara ini.

Persamaan Schröder diselesaikan secara analitis jika a adalah suatu daya tarik (tetapi tidak superatraksi) titik tetap, yaitu 0 < |h′(a)| < 1 oleh Gabriel Koenigs (1884).^[6][7]

Dalam kasus titik tetap yang sangat menarik, |h′(a)| = 0, Persamaan Schröder berat, dan sebaiknya diubah menjadi Persamaan Böttcher.^[8]

Ada sejumlah solusi khusus yang berasal dari makalah asli Schröder tahun 1870.^[1]

Ekspansi seri di sekitar titik tetap dan sifat konvergensi yang relevan dari solusi untuk orbit yang dihasilkan dan sifat analititasnya secara meyakinkan diringkas oleh George Szekeres.^[9] Beberapa solusi diberikan dalam istilah deret asimtotik, lih. Matriks Carleman.

Ini digunakan untuk menganalisis sistem dinamika diskrit dengan mencari sistem koordinat baru di mana sistem (orbit) yang dibangkitkan oleh h ( x ) terlihat lebih sederhana, hanya dilatasi.

Lebih khusus lagi, sistem di mana jumlah langkah waktu satuan diskrit x → h(x), dapat memiliki orbit (atau aliran) halusnya direkonstruksi dari solusi persamaan Schröder di atas, konjugasi persamaan.

Itu adalah, h(x) = Ψ⁻¹(s Ψ(x)) ≡ h₁(x).

Secara umum, semua fungsionalitas iterasi (iterasi beraturan grup , lihat fungsi iterasi) disediakan oleh orbit

${\displaystyle h_{t}(x)=\Psi ^{-1}{\big (}s^{t}\Psi (x){\big )},}$

untuk t nyata - tidak harus positif atau bilangan bulat. (Jadi, grup berlanjut penuh.) Sekumpulan dari h_n(x), yaitu, dari semua iterasi bilangan bulat positif dari h(x) (semigroup) disebut sempalan (atau urutan Picard) dari h(x).

Namun, semua iterasi (pecahan, sangat kecil, atau negatif) dari h(x) juga ditentukan melalui transformasi koordinat Ψ(x) bertekad untuk menyelesaikan persamaan Schröder: interpolasi holografik kontinu dari rekursi diskrit awal x → h(x) dibangun;^[10] pada dasarnya, seluruh orbit.

Misalnya, akar kuadrat fungsional adalah h_½(x) = Ψ⁻¹(s^1/2 Ψ(x)), seperti h_1/2(h_1/2(x)) = h(x), dan seterusnya.

Sebagai contoh,^[11] special cases of the logistic map such as the chaotic case h(x) = 4x(1 − x) were already worked out by Schröder in his original article^[1] (p. 306),

Ψ(x) = (arcsin √x)², s = 4, dan karenanya h_t(x) = sin²(2^t arcsin √x).

Faktanya, solusi ini terlihat sebagai gerakan yang ditentukan oleh urutan potensial switchback,^[12] V(x) ∝ x(x − 1) (nπ + arcsin √x)², fitur generik dari pengulangan terus menerus yang dipengaruhi oleh persamaan Schröder.

Kasus nonkotik juga diilustrasikan dengan metodenya, h(x) = 2x(1 − x), memberi

Ψ(x) = −½ln(1 − 2x), dan karenanya h_t(x) = −½((1 − 2x)^2t − 1).

Demikian pula, untuk model Beverton–Holt, h(x) = x/(2 − x), yang mudah ditemukan^[10] Ψ(x) = x/(1 − x), seperti^[13]

${\displaystyle h_{t}(x)=\Psi ^{-1}{\big (}2^{-t}\Psi (x){\big )}={\frac {x}{2^{t}+x(1-2^{t})}}.}$

• Persamaan Böttcher

1. ^ ^{a b c} Schröder, Ernst (1870). "Ueber iterirte Functionen". Math. Ann. 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992. 
2. ^ Carleson, Lennart; Gamelin, Theodore W. (1993). Complex Dynamics. Textbook series: Universitext: Tracts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97942-5. 
3. ^ Kuczma, Marek (1968). Functional equations in a single variable. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers.  ASIN: B0006BTAC2
4. ^ Gell-Mann, M.; Low, F.E. (1954). "Quantum Electrodynamics at Small Distances" (PDF). Physical Review. 95 (5): 1300–1312. Bibcode:1954PhRv...95.1300G. doi:10.1103/PhysRev.95.1300. 
5. ^ ^{a b} Curtright, T.L.; Zachos, C.K. (March 2011). "Renormalization Group Functional Equations". Physical Review D. 83 (6): 065019. arXiv:1010.5174 . Bibcode:2011PhRvD..83f5019C. doi:10.1103/PhysRevD.83.065019. 
6. ^ Koenigs, G. (1884). "Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionelles" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1 (3, Supplément): 3–41. doi:10.24033/asens.247. 
7. ^ Erdős, P.; Jabotinsky, E. (1960). "On Analytic Iteration". Journal d'Analyse Mathématique. 8 (1): 361–376. doi:10.1007/BF02786856. 
8. ^ Böttcher, L. E. (1904). "The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis". Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch. (Russian). 14: 155–234. 
9. ^ Szekeres, G. (1958). "Regular iteration of real and complex functions". Acta Mathematica. 100 (3–4): 361–376. doi:10.1007/BF02559539 .  [1]
10. ^ ^{a b} Curtright, T.L.; Zachos, C. K. (2009). "Evolution Profiles and Functional Equations". Journal of Physics A. 42 (48): 485208. arXiv:0909.2424 . Bibcode:2009JPhA...42V5208C. doi:10.1088/1751-8113/42/48/485208. 
11. ^ Curtright, T. L. Evolution surfaces and Schröder functional methods Diarsipkan 2014-10-30 di Wayback Machine..
12. ^ Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2010). "Chaotic Maps, Hamiltonian Flows, and Holographic Methods". Journal of Physics A. 43 (44): 445101. arXiv:1002.0104 . Bibcode:2010JPhA...43R5101C. doi:10.1088/1751-8113/43/44/445101. 
13. ^ Skellam, J. G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, Biometrika 38 196−218, eq. 41, 42.