Fungsi univalen

Untuk kegunaan lain, lihat Univalen

Dalam analisis kompleks, suatu fungsi holomorfik pada suatu himpunan bagian terbuka dari bidang kompleks disebut univalen jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif.[1][2]

Contoh

Misalkan ${\displaystyle B_{r}(a)=\left\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,\left|z-a\right|<r\right\}}$ adalah cakram terbuka dari himpunan semua bilangan kompleks, maka fungsi ${\displaystyle f\colon z\mapsto \left(z+1\right)^{2}}$ adalah fungsi univalen pada ${\displaystyle B_{1}(0)}$, sebab persamaan ${\displaystyle f(p)=f(q)}$ (dengan ${\displaystyle p,\,q\in B_{1}(0)}$) mengakibatkan $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f(q)-f(p)\\&=\left(q+1\right)^{2}-\left(p+1\right)^{2}\\&=(q+p+2)(q-p)\end{aligned}}}$$ Oleh karena ${\displaystyle q+p+2\neq 0}$, maka ${\displaystyle q-p=0}$, sehingga terbukti bahwa fungsi ${\displaystyle f}$ injektif pada ${\displaystyle B_{1}(0)}$.

Sifat dasar

Jika ${\displaystyle D_{1}}$ dan ${\displaystyle D_{2}}$ adalah dua himpunan terbuka terhubung pada bidang kompleks, dan ${\displaystyle f\colon D_{1}\to D_{2}}$ adalah fungsi univalen sedemikian sehingga $${\displaystyle f(D_{1})=D_{2}}$$ (atau dengan kata lain, fungsi ${\displaystyle f}$ bersifat surjektif), maka

• ${\displaystyle f'(a)\neq 0\qquad \forall a\in D_{1}}$
• fungsi ${\displaystyle f}$ memiliki invers
• ${\displaystyle f^{-1}(z)}$ juga merupakan fungsi holomorfik

Lebih lanjut, berdasarkan kaidah rantai, diperoleh $${\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\dfrac {1}{f'(z)}}\qquad \forall z\in D_{1}}$$

Perbandingan dengan fungsi riil

Dibandingkan fungsi kompleks holomorfik, pernyataan-pernyataan ini gagal terpenuhi oleh fungsi riil analitik. Sebagai contoh, diberikan fungsi ${\displaystyle f\colon (-1,\,1)\to (-1,\,1)}$ dengan $${\displaystyle f(x)=x^{3}}$$ Terlihat jelas bahwa fungsi ${\displaystyle f}$ adalah fungsi injektif, namun turunannya bernilai ${\displaystyle 0}$ saat ${\displaystyle x=0}$, dan inversnya tidak analitik, atau bahkan terdiferensialkan, pada seluruh interval ${\displaystyle (-1,\,1)}$. Akibatnya, saat domain fungsinya diperbesar menjadi himpunan terbuka ${\displaystyle D_{1}\subset \mathbb {C} }$, maka fungsinya gagal bersifat injektif, sebab $${\displaystyle f(k\omega )=f(k)\quad {\text{namun}}\quad k\omega \neq k}$$ dengan ${\displaystyle \omega =\left\{e^{{\tfrac {2}{3}}\pi i},\,e^{{\tfrac {4}{3}}\pi i}\right\}}$ dan ${\displaystyle k}$ adalah bilangan riil positif yang kurang dari jari-jari ${\displaystyle D_{1}}$ sebagai persekitaran dari ${\displaystyle 0}$.

Lihat juga

• Pemetaan biholomorfik
• Teorema De Branges
• Teorema Koebe perempat
• Teorema pemetaan Riemann
• Kriteria Nevanlinna

Catatan

1. (Conway 1995, hlm. 32, chapter 14: Conformal equivalence for simply connected regions, Definition 1.12: "A function on an open set is univalent if it is analytic and one-to-one.")
2. (Nehari 1975)

Referensi

• (Inggris)Conway, John B. (1995). "Conformal Equivalence for Simply Connected Regions". Functions of One Complex Variable II. Graduate Texts in Mathematics (dalam bahasa Inggris). 159. doi:10.1007/978-1-4612-0817-4. ISBN 978-1-4612-6911-3. 
• (Inggris)"Univalent Functions". Sources in the Development of Mathematics (dalam bahasa Inggris). 2011. hlm. 907–928. doi:10.1017/CBO9780511844195.041. ISBN 9780521114707. 
• (Inggris)Duren, P. L. (1983). Univalent Functions (dalam bahasa Inggris). Springer New York, NY. hlm. XIV, 384. ISBN 978-1-4419-2816-0. 
• (Inggris)Gong, Sheng (1998). Convex and Starlike Mappings in Several Complex Variables (dalam bahasa Inggris). doi:10.1007/978-94-011-5206-8. ISBN 978-94-010-6191-9. 
• (Inggris)Jarnicki, Marek; Pflug, Peter (2006). "A remark on separate holomorphy". Studia Mathematica (dalam bahasa Inggris). 174 (3): 309–317. arXiv:math/0507305 . doi:10.4064/SM174-3-5 .  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• (Inggris)Nehari, Zeev (1975). Conformal mapping (dalam bahasa Inggris). New York: Dover Publications. hlm. 146. ISBN 0-486-61137-X. OCLC 1504503.