Bentuk kuadrat biner

Artikel ini sudah memiliki referensi, tetapi tidak disertai kutipan yang cukup. Anda dapat membantu mengembangkan artikel ini dengan menambahkan lebih banyak kutipan pada teks artikel. (Januari 2021) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Dalam matematika, bentuk kuadrat biner adalah kuadrat polinomial homogen dalam dua variabel

${\displaystyle q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\,}$

di mana a , b , c adalah koefisien. Jika koefisien dapat berubah-ubah bilangan kompleks, sebagian besar hasil tidak spesifik untuk kasus dua variabel, jadi hasil tersebut dijelaskan dalam bentuk kuadrat. Bentuk kuadrat dengan koefisien bilangan bulat disebut bentuk kuadrat biner integral, sering disingkat menjadi bentuk kuadrat biner .

Artikel ini sepenuhnya dikhususkan untuk bentuk kuadrat biner integral. Pilihan ini dilatarbelakangi oleh status mereka sebagai pendorong di balik perkembangan teori bilangan aljabar. Sejak akhir abad kesembilan belas, bentuk kuadrat biner dalam teori bilangan aljabar ke kuadrat dan bidang bilangan yang lebih umum, tetapi kemajuan khusus untuk bentuk kuadrat biner masih terjadi pada kesempatan tertentu.

Pierre Fermat menyatakan bahwa jika p adalah bilangan prima ganjil maka persamaannya ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$ memiliki solusi iff ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$, dan dia membuat pernyataan serupa tentang persamaan ${\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}}$, ${\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}}$, ${\displaystyle p=x^{2}-2y^{2}}$ dan ${\displaystyle p=x^{2}-3y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2},x^{2}+2y^{2},x^{2}-3y^{2}}$ dan seterusnya adalah bentuk kuadrat, dan teori bentuk kuadrat memberikan cara terpadu untuk melihat dan membuktikan teorema ini

Contoh lain dari bentuk kuadrat adalah Persamaan Pell ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

Bentuk kuadrat biner sangat erat kaitan ideal di bidang kuadrat, ini memungkinkan bilangan kelas dari bidang kuadrat untuk dihitung dengan menghitung jumlah bentuk kuadrat biner tereduksi dari diskriminan yang diberikan

Fungsi theta klasik dari 2 variabel adalah ${\displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}q^{m^{2}+n^{2}}}$, jika ${\displaystyle f(x,y)}$ adalah bentuk kuadrat pasti positif ${\displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}q^{f(m,n)}}$ adalah fungsi theta

Dua bentuk f dan g disebut ekuivalen jika terdapat bilangan bulat ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,{\text{ dan }}\delta }$ sehingga:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)&=g(x,y),\\\alpha \delta -\beta \gamma &=1.\end{aligned}}}$

Misalnya, dengan ${\displaystyle f=x^{2}+4xy+2y^{2}}$ dan ${\displaystyle \alpha =-3}$, ${\displaystyle \beta =2}$, ${\displaystyle \gamma =1}$, dan ${\displaystyle \delta =-1}$, menemukan bahwa f adalah ${\displaystyle g=(-3x+2y)^{2}+4(-3x+2y)(x-y)+2(x-y)^{2}}$, yang disederhanakan menjadi ${\displaystyle -x^{2}+4xy-2y^{2}}$.

Kondisi ekivalensi di atas mendefinisikan relasi ekuivalen pada himpunan bentuk kuadrat integral. Oleh karena itu, bentuk kuadrat partisi diubah menjadi kelas kesetaraan, yang disebut kelas dari bentuk kuadrat. Kelas invarian dapat berarti fungsi yang didefinisikan pada kelas ekuivalen bentuk atau properti yang dimiliki oleh semua bentuk dalam kelas yang sama.

Lagrange menggunakan pengertian yang berbeda tentang kesetaraan, di mana kondisi kedua diganti dengan ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1}$. Sejak Gauss telah diakui bahwa definisi ini lebih rendah dari yang diberikan di atas. Jika ada kebutuhan untuk membedakan, terkadang bentuk disebut ekuivalen riil menggunakan definisi di atas dan ekuivalen tidak semestinya jika setara dalam pengertian Lagrange.

Dalam terminologi matriks, yang kadang-kadang digunakan di bawah, maka

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

memiliki entri bilangan bulat dan determinan 1, peta ${\displaystyle f(x,y)\mapsto f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)}$ adalah (kanan) tindakan grup dari ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ pada himpunan bentuk kuadrat biner. Relasi ekuivalensi di atas kemudian muncul dari teori umum aksi grup.

Jika ${\displaystyle f=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$, kemudian invarian penting termasuk

• Diskriminan ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$.
• Konten, sama dengan pembagi persekutuan terbesar dari a , b , dan c .

Terminologi telah muncul untuk mengklasifikasikan kelas dan bentuknya dalam istilah invariannya. Suatu bentuk diskriminan ${\displaystyle \Delta }$ adalah definisi jika ${\displaystyle \Delta <0}$, digenerasikan jika ${\displaystyle \Delta }$ adalah kuadrat sempurna, dan tak hingga sebaliknya. Suatu bentuk dikatakan primitif jika isinya adalah 1, yaitu, jika koefisiennya koprima. Jika diskriminan suatu bentuk adalah diskriminan fundamental, maka bentuk itu primitif.^[1] Discriminants satisfy ${\displaystyle \Delta \equiv 0,1{\pmod {4}}.}$

Jika f adalah bentuk kuadrat, berarti matriks

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

dalam ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ adalah automorfisme dari f jika ${\displaystyle f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=f(x,y)}$. Misalnya matriks

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}}}$

adalah automorfisme bentuk ${\displaystyle f=x^{2}-2y^{2}}$. Automorfisme bentuk membentuk subgrup dari ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$. Ketika f pasti, grupnya terbatas, dan ketika f tidak pasti, itu tak terbatas dan siklik.

Bentuk kuadrat biner ${\displaystyle q(x,y)}$ repsentasi bilangan bulat ${\displaystyle n}$ jika dimungkinkan untuk bilangan bulat ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ memiliki persamaan ${\displaystyle n=f(x,y).}$ Persamaan ini adalah representasi dari n oleh f .

Diophantus mempertimbangkan apakah, untuk bilangan bulat ganjil ${\displaystyle n}$, adalah mungkin untuk menemukan bilangan bulat ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ yang ${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}}$.^[2] Saat ${\displaystyle n=65}$, adalah

${\displaystyle {\begin{aligned}65&=1^{2}+8^{2},\\65&=4^{2}+7^{2},\end{aligned}}}$

jadi relasi ${\displaystyle (x,y)=(1,8){\text{ dan }}(4,7)}$ yang berhasil. Kita mendapatkan lebih banyak pasangan yang bekerja dengan mengganti nilai ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ atau dengan mengubah salah satu atau keduanya dari ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$. Secara keseluruhan, ada enam belas pasangan solusi yang berbeda. Sebaliknya, jika ${\displaystyle n=3}$, persamaannya

${\displaystyle 3=x^{2}+y^{2}}$

tidak memiliki solusi bilangan bulat. Untuk mengetahui alasannya, kami mencatat bahwa ${\displaystyle x^{2}\geq 4}$ kecuali ${\displaystyle x=-1,0}$ atau ${\displaystyle 1}$. Jadi, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ akan melebihi 3 kecuali ${\displaystyle (x,y)}$ adalah salah satu dari sembilan pasangan dengan ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ masing-masing sama dengan ${\displaystyle -1,0}$ atau 1. Kita dapat memeriksa sembilan relasi ini secara langsung untuk melihat yang tidak ${\displaystyle 3=x^{2}+y^{2}}$, jadi persamaan tersebut tidak memiliki solusi bilangan bulat.

Argumen serupa menunjukkan bahwa untuk setiap ${\displaystyle n}$, persamaan ${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}}$ hanya dapat memiliki sejumlah solusi terbatas maka ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ akan melebihi ${\displaystyle n}$ kecuali nilai absolut ${\displaystyle |x|}$ dan ${\displaystyle |y|}$ keduanya kurang dari ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Hanya ada sejumlah pasangan terbatas yang memenuhi batasan ini.

Masalah kuno lain yang melibatkan bentuk kuadrat meminta kita untuk menyelesaikannya Persamaan Pell. Misalnya, kita dapat mencari bilangan bulat x dan y sehingga ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$. Mengubah tanda x dan y dalam suatu solusi memberikan solusi lain, jadi cukup mencari solusi saja dalam bilangan bulat positif. Salah satu solusinya adalah ${\displaystyle (x,y)=(3,2)}$, Artinya, persamaan ${\displaystyle 1=3^{2}-2\cdot 2^{2}}$. Jika ${\displaystyle (x,y)}$ adalah solusi untuk ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$, maka ${\displaystyle (3x+4y,2x+3y)}$ adalah pasangan serupa lainnya. Misalnya, dari pasangan ${\displaystyle (3,2)}$, adalah

${\displaystyle (3\cdot 3+4\cdot 2,2\cdot 3+3\cdot 2)=(17,12)}$,

dan ${\displaystyle 1=17^{2}-2\cdot 12^{2}}$ mengulangi proses ini, kami menemukan relasi selanjutnya ${\displaystyle (x,y)}$ dengan ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(3\cdot 17+4\cdot 12,2\cdot 17+3\cdot 12)&=(99,70),\\(3\cdot 99+4\cdot 70,2\cdot 99+3\cdot 70)&=(477,408),\\&\vdots \end{aligned}}}$

Nilai ini akan terus bertambah ukurannya, jadi kami melihat ada banyak cara yang tak terbatas untuk merepresentasikan 1 dengan bentuk ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$. Deskripsi rekursif ini telah dibahas dalam komentar Theon dari Smyrna tentang Elemen Eklides.

Masalah tertua dalam teori bentuk kuadrat biner adalah masalah representasi: mendeskripsikan representasi dari bilangan tertentu ${\displaystyle n}$ dengan bentuk kuadrat f . "Mendeskripsikan" dapat berarti berbagai hal: memberikan algoritma untuk menghasilkan semua representasi, rumus tertutup untuk jumlah representasi, atau bahkan hanya menentukan apakah representasi ada.

Contoh di atas membahas masalah representasi untuk angka 3 dan 65 dengan bentuk ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ dan untuk angka 1 dengan bentuk ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$. Bahwa 65 diwakili oleh ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ dalam enam belas cara berbeda, sedangkan 1 diwakili oleh ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$ dalam banyak cara dan 3 tidak diwakili semua ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$. Dalam kasus pertama, enam belas representasi dijelaskan secara eksplisit. Bahwa jumlah representasi dari suatu bilangan bulat oleh ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ adalah hingga. Jumlah fungsi kuadrat ${\displaystyle r_{2}(n)}$ memberikan jumlah representasi n oleh ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ sebagai fungsi dari n . Rumus tertutup^[3]

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n)),}$

dimana ${\displaystyle d_{1}(n)}$ adalah banyaknya pembagi dari n yang kongruen sampai 1 modulo 4 dan ${\displaystyle d_{3}(n)}$ adalah banyaknya pembagi dari n dari kongruen 3 dengan 4.

Ada beberapa invarian kelas yang relevan dengan masalah representasi:

• Himpunan bilangan bulat yang diwakili oleh kelas. Jika bilangan bulat n diwakili oleh formulir di kelas, maka itu diwakili oleh semua bentuk lain di kelas.
• Nilai absolut minimum yang diwakili oleh sebuah kelas. Ini adalah nilai nonnegatif terkecil dalam himpunan bilangan bulat yang diwakili oleh sebuah kelas.
• Kelas-kelas kesesuaian modulo diskriminan kelas yang diwakili oleh kelas.

Nilai absolut minimum yang diwakili oleh sebuah kelas adalah nol untuk kelas merosot dan positif untuk kelas-kelas tertentu dan tak-hingga. Semua angka diwakili oleh bentuk tertentu ${\displaystyle f=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ memiliki tanda yang sama: positif if ${\displaystyle a>0}$ dan negatif if ${\displaystyle a<0}$. Untuk alasan ini, yang pertama disebut bentuk definisi positif dan yang terakhir disebut definisi negatif.

Jumlah representasi bilangan bulat n dengan bentuk f terbatas jika f pasti dan tak terbatas jika f tidak pasti. Kami melihat contohnya pada contoh di atas: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ positif dan ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$ tidak terbatas.

Pengertian ekuivalen bentuk dapat diperluas menjadi representasi ekuivalen. Representasi ${\displaystyle m=f(x_{1},y_{1})}$ dan ${\displaystyle n=g(x_{2},y_{2})}$ akuivalen jika matriks

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

dengan entri integer dan determinan 1 sehingga ${\displaystyle f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=g(x,y)}$ dan

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\delta &-\beta \\-\gamma &\alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}}$

Kondisi di atas memberikan aksi (kanan) grup ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ pada himpunan representasi bilangan bulat dengan bentuk kuadrat biner. Oleh karena itu, persamaan yang didefinisikan dengan cara ini adalah hubungan kesetaraan dan khususnya bentuk-bentuk dalam representasi yang setara adalah bentuk-bentuk yang setara.

Sebagai contoh, misalkan ${\displaystyle f=x^{2}-2y^{2}}$ dan pertimbangkan representasi ${\displaystyle 1=f(x_{1},y_{1})}$. Representasi semacam itu adalah solusi persamaan Pell yang dijelaskan dalam contoh di atas. Matriks

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}}}$

memiliki determinan 1 dan merupakan automorfisme dari f . Bertindak atas representasi ${\displaystyle 1=f(x_{1},y_{1})}$ dengan matriks ini menghasilkan representasi yang setara ${\displaystyle 1=f(3x_{1}+4y_{1},2x_{1}+3y_{1})}$. Langkah rekursi dalam proses yang dijelaskan di atas untuk menghasilkan banyak solusi tak terhingga untuk ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$. Iterasi aksi matriks ini, kami menemukan bahwa himpunan representasi tak hingga dari 1 oleh f yang ditentukan di atas semuanya ekuivalen.

Secara umum ada banyak kelas ekivalen yang terbatas dari representasi integer n dengan bentuk diskriminan bukan nol yang diberikan ${\displaystyle \Delta }$. Seperangkat perwakilan lengkap untuk kelas-kelas ini dapat diberikan dalam istilah bentuk tereduksi yang ditentukan pada bagian di bawah ini. Saat ${\displaystyle \Delta <0}$, setiap representasi setara dengan representasi unik dengan bentuk yang direduksi, sehingga satu set lengkap perwakilan diberikan oleh banyak representasi n yang tereduksi oleh bentuk diskrim yang dikurangi diskriminan ${\displaystyle \Delta }$. Maka ${\displaystyle \Delta >0}$, Zagier membuktikan bahwa setiap representasi bilangan bulat positif n oleh bentuk diskriminan ${\displaystyle \Delta }$ adalah setara dengan representasi unik ${\displaystyle n=f(x,y)}$ di mana f dikurangi dalam pengertian Zagier dan ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle y\geq 0}$.^[4] Himpunan dari semua representasi tersebut merupakan himpunan lengkap perwakilan untuk kelas representasi kesetaraan.

Lagrange membuktikan bahwa untuk setiap nilai D , hanya ada banyak kelas bentuk kuadrat biner dengan diskriminan D . Nomor mereka adalah bilangan kelas diskriminan D . Dia menggambarkan sebuah algoritma, yang disebut reduksi, untuk membangun perwakilan kanonik di setiap kelas, bentuk tereduksi, yang koefisiennya paling kecil.

Gauss memberikan algoritme reduksi yang unggul dalam Disquisitiones Arithmeticae , yang sejak saat itu menjadi algoritme reduksi yang paling umum diberikan di buku teks. Pada tahun 1981, Zagier menerbitkan algoritma reduksi alternatif yang telah menemukan beberapa kegunaan sebagai alternatif dari Gauss.^[4]

Komposisi paling sering mengacu pada operasi biner pada kelas kesetaraan primitif dari bentuk diskriminan yang sama, salah satu penemuan Gauss terdalam, yang membuat himpunan ini menjadi grup abelian terbatas yang disebut bentuk grup kelas (atau hanya grup kelas) diskriminan ${\displaystyle \Delta }$. Grup kelas telah menjadi salah satu ide sentral dalam teori bilangan aljabar. Dari perspektif modern, golongan diskriminan fundamental ${\displaystyle \Delta }$ isomorfik ke gru0 kelas sempit dari bidang kuadrat ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$ diskriminan ${\displaystyle \Delta }$.^[5] Untuk negatif ${\displaystyle \Delta }$, kelompok kelas sempit adalah sama dengan grup kelas ideal, tetapi untuk positif ${\displaystyle \Delta }$ mungkin dua kali lebih besar.

"Komposisi" terkadang juga mengacu pada, secara kasar, operasi biner pada bentuk kuadrat biner. Kata menunjukkan dua peringatan: hanya pasangan bentuk kuadrat biner tertentu yang dapat disusun, dan bentuk yang dihasilkan tidak terdefinisi dengan baik (meskipun kelas ekuivalennya adalah). Operasi komposisi pada kelas ekivalen ditentukan dengan terlebih dahulu mendefinisikan komposisi bentuk dan kemudian menunjukkan bahwa ini menginduksi operasi yang terdefinisi dengan baik pada kelas.

"Komposisi" juga dapat merujuk ke operasi biner pada representasi bilangan bulat menurut bentuk. Operasi ini jauh lebih rumit^{[butuh rujukan]} daripada komposisi bentuk, tetapi muncul pertama kali secara historis. Kami akan mempertimbangkan operasi pada bagian terpisah di bawah ini.

Komposisi berarti mengambil 2 bentuk kuadrat dari diskriminan yang sama dan menggabungkannya untuk membuat bentuk kuadrat dari diskriminan yang sama, itu adalah generalisasi dari identitas 2-persegi ${\displaystyle \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}}$

Berbagai definisi komposisi bentuk telah diberikan, sering kali dalam upaya untuk menyederhanakan definisi Gauss yang sangat teknis dan umum. Kami menyajikan di sini metode Arndt, karena tetap agak umum sementara cukup sederhana untuk dapat menerima perhitungan dengan tangan. Definisi alternatif dijelaskan di kubus Bhargava.

Misalkan komposisi ${\displaystyle f_{1}=A_{1}x^{2}+B_{1}xy+C_{1}y^{2}}$ dan ${\displaystyle f_{2}=A_{2}x^{2}+B_{2}xy+C_{2}y^{2}}$, setiap primitif dan diskriminan yang sama ${\displaystyle \Delta }$. Kami melakukan langkah-langkah berikut:

1. Menghitung ${\displaystyle B_{\mu }={\tfrac {B_{1}+B_{2}}{2}}}$ dan ${\displaystyle e=\gcd(A_{1},A_{2},B_{\mu })}$, dan ${\displaystyle A={\tfrac {A_{1}A_{2}}{e^{2}}}}$
2. Pecahkan sistem kesesuaian

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv B_{1}{\pmod {2{\tfrac {A_{1}}{e}}}}\\x&\equiv B_{2}{\pmod {2{\tfrac {A_{2}}{e}}}}\\{\tfrac {B_{\mu }}{e}}x&\equiv {\tfrac {\Delta +B_{1}B_{2}}{2e}}{\pmod {2A}}\end{aligned}}}$

Dapat ditunjukkan bahwa sistem ini solusi bilangan bulat modulo ${\displaystyle 2A}$. Kami memilih solusi dan menyebutnya B .

1. Hitung C sedemikian rupa ${\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}$. Dapat ditunjukkan bahwa C adalah bilangan bulat.

Gauss juga dianggap sebagai gagasan kesetaraan yang lebih kasar, dengan setiap kelas disebut genus bentuk. Setiap genus adalah gabungan dari sejumlah terbatas kelas kesetaraan dari diskriminan yang sama, dengan jumlah kelas yang hanya bergantung pada diskriminan. Dalam konteks bentuk kuadrat biner, genera dapat didefinisikan baik melalui kelas kesesuaian angka yang diwakili oleh bentuk atau oleh karakter genus yang ditentukan pada himpunan bentuk. Definisi ketiga adalah kasus khusus dari genus bentuk kuadrat dalam n variabel. Ini menyatakan bahwa bentuk berada dalam genus yang sama jika setara secara lokal di semua bilangan prima rasional (termasuk Kedudukan Archimedean).

• Kubus Bhargava
• Teorema Fermat tentang penjumlahan dua persegi
• Simbol Legendre

• Johannes Buchmann, Ulrich Vollmer: Binary Quadratic Forms, Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-46367-4
• Duncan A. Buell: Binary Quadratic Forms, Springer, New York 1989
• David A Cox, Primes of the form ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$, Fermat, class field theory, and complex multiplication
• Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 138, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4, MR 1228206 
• Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1993), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 27, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43834-6, MR 1215934 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (edisi ke-6th), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-921986-5, MR 2445243, Zbl 1159.11001 
• Weil, André (2001), Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser Boston 
• Zagier, Don (1981), Zetafunktionen und quadratische Körper: eine Einführung in die höhere Zahlentheorie, Springer 

• Peter Luschny, Positive numbers represented by a binary quadratic form
• Templat:Eom