鞅的概念首先是由保羅·皮埃爾·萊維於1934年提出的，但他只提出了離散時間的版本，而且沒有給予命名。直到1939年，約翰·維爾（英语：Jean Ville）將此概念推廣到連續時間的情況，並且首次提出「martingale」这個名稱。约瑟夫·利奧·杜布（英语：Joseph L. Doob）等人在鞅的相關理論的初期發展做出重大貢獻，而完成这些工作的部分动机是为了表明成功的投注策略不可能存在。此外，伊藤清在分析应用方面作出了重要的贡献。从1970年代开始，鞅论就在纯粹数学和应用数学的很多领域中有广泛的应用，特别是在数学物理和金融数学中。
设 Xn 是一个赌徒 n 次抛掷公平硬币後的财产，規則是如果硬币正面朝上，则赌徒赢得 1 美元，硬币反面朝上，则赌徒输掉 1 美元。在已知過去不同時刻所拥有的财产之下，下一次试验後赌徒财产的条件期望与其现在的财产相等，故这一随机过程是鞅。这个例子称为賭徒謬誤。
令 Yn = Xn2 − n ，其中 Xn 是上例中赌徒的财产，则随机过程{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是鞅。这一例子可以表明赌徒的全部收益或损失大致在抛掷次数的正负平方根之间变化。
（棣莫弗鞅）设抛掷的是有偏硬币（或称为不公平硬币），正面向上的概率为 p，反面向上的概率为 q = 1 − p 。令
正面情况用“+”，反面情况用“−”。令
则{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是关於{ Xn : n = 1, 2, 3, ... }的鞅。证明如下：
复合补偿泊松过程的2条轨道，强度分别为2.4（蓝）和0.6（红），服从正态分布
（波利亞罐子模型）一个罐子中最初装有 r 个红球和 b 个蓝球。某人随机取出一个球，然後将此球与另一个与此球颜色相同的球放回罐子中。令 Xn 为重复上述步骤 n 次後罐子中的红球数，令 Yn = Xn / (n + r + b)。这时随机过程{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是鞅。
（统计学中的似然比检验）某一总体可能是按照概率密度 f 分布，也可能是按照概率密度 g 分布。从总体中取出一个随机样本，数据为 X1, ..., Xn 。令 Yn 为“似然比”：
（上式在应用中用作检验统计量。）若总体实际上是按照概率密度 f 而不是 g 分布，则{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是关於{ Xn : n = 1, 2, 3, ... }的鞅。
设每一變形蟲不是以概率 p 分裂成两个变形虫，就是以概率 1 − p 最终死亡。令 Xn 为 n 代後变形虫的存活数目（若种群在某一时刻灭绝，则这一时刻的 Xn = 0）。令 r 为最终灭绝的概率（英语：Galton–Watson process）。（找出 r 关於 p 的函数在实际应用中是非常有用的。提示：已知最初的一个变形虫已经分裂了，则这个变形虫的後代最终灭绝的概率等於其分裂直接得到的两个後代中任何一个死亡的概率。）则
若{ Nt : t ≥ 0 }是强度为λ的泊松过程，则补偿泊松过程{ Nt − λt : t ≥ 0 }是具有右连续且有左极限的样本轨道的连续时间鞅（更确切地说是局部鞅）。
利用计算机软件，鞅序列可以很容易地制作出来：
Microsoft Excel或类似的电子制表软件：在A1（左上角）单元格中输入0.0，在下方的A2单元格中输入=A1+NORMINV(RAND(),0,1)。这时下拉复制此单元格，得到大约300个单元格，这样就能创建均值为0，标准差为1的鞅序列。在这些单元格仍处於选中状态的情况下，利用图表创建工具创建这些值的图表。这时每次重新计算後（在Excel中可按F9实现），图表都会显示出不同的鞅序列。
![{\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a839e72c46650c7da597b2e583a3677e9c960fd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d39ca9848fbe72736ccddbfe499d0a07ce32f22)
![{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad18070dbd7931e5cad0c2cef27a40d8ca2c570b)
![{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6a06fa6e84991c5ad6af44f634f678c450e43d)
