停时

停时的一个范例: 布朗运动的首中时

在概率论中，尤其在随机过程的研究中，停时是一种特殊的“随机时刻”。

停止规则和停时理论常在概率论和统计学中被提到和应用，其中著名的有可选抽样定理（英语：Optional stopping theorem）。停时同时在数学证明中也被频繁应用——“驯服时间这一连续统” [1]。

定义

定義 — 
${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,P)}$是機率空間，${\displaystyle \leq }$ 是集合 ${\displaystyle T}$ 上的全序关系，若有個单射 ${\displaystyle {\mathcal {F}}:T\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}$ 滿足：

• 對所有 ${\displaystyle t\in T}$ ， ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 上的Σ-代数，且 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\subseteq \Sigma }$ 。
• 對所有 ${\displaystyle s,\,t\in T}$ ， 若 ${\displaystyle t\leq s}$ 則 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\subseteq {\mathcal {F}}(s)}$

那 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 被稱為 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,P)}$ 上的一個滤子/域流（filtration），也可以稱${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,{\mathcal {F}},\,P)}$為一個濾波（機率）空間。

要強調是用哪個集合 ${\displaystyle T}$ 去定義濾子的時候，可以仿造序列的标记，把濾子記為 ${\displaystyle {\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T}}$ ，然後把 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$ 也簡記為 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ 。

定義 — 
${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,{\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T},\,P)}$為一個濾波空間，若函数 ${\displaystyle \tau :X\to T}$ 滿足。

${\displaystyle (\forall t\in T){\bigg \{}\{x\in X\,|\,\tau (x)\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}{\bigg \}}}$

那稱 ${\displaystyle \tau }$ 為濾子 ${\displaystyle {\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T}}$ 的一個停時（stopping time）

例子

为了解释一些是或不是停时的随机时刻，考虑一个玩轮盘赌的赌徒，其具有典型的赌场优势，初始时刻赌资为100元：

• 赌且只赌一次，对应于停时${\displaystyle \tau }$ = 1，且这是一个停止规则（在停时概念中决定何时停止的规则或条件）。
• 当赌徒破产或赢得500元钱时停止赌博是一个停止规则。
• 当赌徒获得他所能赢得的最大赌资(此时刻之前以及之后)时停止赌博不是一个停止规则，且不提供一个停止规则：因为它不仅需要此刻和过去的信息，还需要将来的信息。
• 当赌徒使其赌资翻倍时（资产为负时若必要则允许贷款）不是一个停止规则，因为只有单边，而且他永远不能使他的赌资翻倍的概率是正的。（这里假设存在限制使得备注诀窍体系（加倍赌注法）或者其变异方法（比如将上次的赌金翻三倍下注）不能被使用。这类限制可以包括针对投注的但并不针对借款。）
• 当赌徒使其赌资翻倍或破产时停止赌博是一个停止规则，虽然赌徒赌博的总次数实际上并不一定是有限的，但，他在有限时间内停下来的概率是1。

局部化

停时经常被用来概括一些情景具备的随机过程特性，在这些情景中需要的条件只在局部意义上被满足。首先，如果 ${\displaystyle X}$ 是一个（随机）过程，${\displaystyle \tau }$ 是它的一个停时，那么 ${\displaystyle X^{\tau }}$ 就用来表示过程 ${\displaystyle X}$ 在 ${\displaystyle \tau }$ 时刻停止。

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}}$

那么，${\displaystyle X}$ 被认为局部满足 ${\displaystyle P}$ 特性，若存在一列停时 ${\displaystyle \tau _{n}}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle 1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$ 满足特性 ${\displaystyle P}$。常见的例子如下面两个，其中 ${\displaystyle I=[0,\infty )}$：.

• （局部鞅）过程 ${\displaystyle X}$ 是一个局部鞅，若它是右连续有左极限的，且存在一列停时 ${\displaystyle \tau _{n}}$，${\displaystyle n\to \infty }$，使得 ${\displaystyle 1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$对 ${\displaystyle \forall n\in N}$ 是一个鞅。

• （局部可积）非负连续的过程 ${\displaystyle X}$ 是局部可积的，若存在一列停时 ${\displaystyle \tau _{n}}$，${\displaystyle n\to \infty }$，使得${\displaystyle \forall n\in N}$，${\displaystyle \mathbb {E} (1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}})<\infty }$。

停时的类型

停时（表示时间的下标取自 ${\displaystyle I=[0,\infty ]}$）常常依据发生时间能否预测被分成几类。

若 ${\displaystyle \exists {\tau _{n}}}$，${\displaystyle n\in N}$，${\displaystyle \forall n}$ ，满足 ${\displaystyle 0<\tau _{n}<\tau _{n}+1<\tau }$，有${\displaystyle lim_{n\to \infty }x_{n}}$，则停时 ${\displaystyle \tau }$ 是可预测的。${\displaystyle {\tau _{n}}}$ 被称为 ${\displaystyle \tau }$ 的预告，可预测的停时有时则被称作“可预告的”。例子有连续的适应过程的到达时间。取 ${\displaystyle a\in R}$，设 ${\displaystyle X}$ 是实值连续过程，若${\displaystyle \tau }$ 是第一个使得 ${\displaystyle X=a}$ 的时刻，则 ${\displaystyle \tau }$ 是可被 ${\displaystyle \tau _{n}}$ 逼近的，即 ${\displaystyle \tau _{n}}$是第一个使得 ${\displaystyle |X-a|<1/n}$ 的时刻。

可被一列可预测的时刻覆盖的停时称为可接近的。即，${\displaystyle \tau }$ 是可接近的，若：对于部分 ${\displaystyle n}$，${\displaystyle P(\tau =\tau _{n})=1}$，其中 ${\displaystyle \tau _{n}}$ 是可预测的时刻。

若停时 ${\displaystyle \tau }$不能被任何递增的停时序列所逼近，则称为完全不可接近的。等价地，${\displaystyle P(\tau =\sigma <\infty )=0}$，其中${\displaystyle \sigma }$ 是任取的可预测的时刻。例如泊松跳跃。

每个停时 ${\displaystyle \tau }$ 都可被惟一分解为一个可接近的时刻和一个完全不可接近的时刻。即，存在惟一的可接近的停时 ${\displaystyle \sigma }$ 和惟一的完全不可接近的 ${\displaystyle \upsilon }$，使得凡有 ${\displaystyle \sigma <\infty }$ 则 ${\displaystyle \tau =\sigma }$，凡有 ${\displaystyle \upsilon <\infty }$则 ${\displaystyle \tau =\upsilon }$，若 ${\displaystyle \sigma =\tau =\infty }$，则 ${\displaystyle \tau =\infty }$。在此分解结果中需要说明的是，其中的停时并不一定总是有限的，也可以等于 ${\displaystyle \infty }$。

参见

• 最优停止问题
• 秘书问题
• 首中时
• 停止过程
• 停车问题

参考文献

1. Chung, Kai Lai. Lectures from Markov processes to Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. New York: Springer-Verlag. 1982. ISBN 0-387-90618-5. 

• Revuz, Daniel and Yor, Marc. Continuous martingales and Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293 Third edition. Berlin: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-64325-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis. Quickest Detection First edition. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 9780521621045.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Protter, Philip E. Stochastic integration and differential equations. Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag. 2005. ISBN 3-540-00313-4. 

延伸阅读

• Thomas S. Ferguson. "Who solved the secretary problem?", Stat. Sci. vol. 4, 282–296, (1989).
• An introduction to stopping times.
• F. Thomas Bruss, "Sum the odds to one and stop", Annals of Probability, Vol. 4, 1384–1391,(2000)

• Shiryaev, Albert N. Optimal Stopping Rules. Springer. 2007. ISBN 3540740104.