長度 (模論)

在數學中，設 ${\displaystyle A}$ 為環，一個 ${\displaystyle A}$-模 之長度是一個整數（包括無窮大），它推廣了向量空間的維度。有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性。

動機

單模是除了零和本身外沒有子模的模，這種模有時也稱為不可約模。例如不可約的向量空間（視為域或除環上的模）是一條直線。對於單模，我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈：

${\displaystyle \{0\}\subsetneq M}$

單模是容易處理的對象。對於一個環 ${\displaystyle A}$ 上的 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle M}$，如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈：

${\displaystyle M_{0}=\{0\}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M}$

使得每個子商 ${\displaystyle M_{k}/M_{k-1}}$ 都是單模，那麼此鏈將是極大的——我們無法插入新的子模。根據以下將闡述的定義，這時 ${\displaystyle M}$ 將是有限長度的模，其長度 ${\displaystyle \ell _{R}(M)}$恰為 ${\displaystyle n}$。

因此單模正好是長度為一的模。另一個例子：設 ${\displaystyle E}$ 是域 ${\displaystyle k}$ 上的有限維向量空間，那麼一個極大的子模鏈是一族子空間 ${\displaystyle (E_{k})_{0\leq k}}$，使得維度在每一步都加一：

${\displaystyle E_{0}=\{0\}\subsetneq E_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq E_{n-1}\subsetneq E_{n}=E}$

而此時 ${\displaystyle \dim _{k}E=\ell _{k}(E)}$，這種資料稱作旗。

定義

設 ${\displaystyle A}$ 為一個環（可能非交換）， 一個 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle M}$ 的長度定義為嚴格遞增的子模鏈長度的上確界：此即最大可能的整數 ${\displaystyle n}$（可能是無窮大），使得 ${\displaystyle M}$ 中存在嚴格遞增的子模鏈 ${\displaystyle M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n}}$。模 ${\displaystyle M}$ 的長度記為 ${\displaystyle \ell _{A}(M)}$，不致混淆時也逕寫作 ${\displaystyle \ell (M)}$。

例子

• 模 ${\displaystyle M}$ 是單模的充要條件是長度為一。
• 對於向量空間，長度等於維度。
• 整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 視為 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模，則其長度為無窮大，因為存在任意長的子模鏈 ${\displaystyle 2^{n}\mathbb {Z} \subsetneq 2^{n-1}\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq 2\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Z} }$。
• 設正整數 ${\displaystyle n}$ 的素因數分解為 ${\displaystyle n=\prod _{p}p^{n_{p}}}$，則有

${\displaystyle \ell _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )=\sum _{p}n_{p}}$

性質

有限長的模具有許多類似有限維向量空間的性質。例如：若 ${\displaystyle M}$ 為有限長模，則其子模皆有限長，設 ${\displaystyle N,P}$ 為兩個子模，${\displaystyle \ell (N)=\ell (P)}$ 且 ${\displaystyle N\subseteq P}$，則 ${\displaystyle N=P}$。

我們有 Grassman 公式：

${\displaystyle \ell (N+P)+\ell (N\cap P)=\ell (N)+\ell (P)}$

對於有限長模 ${\displaystyle M}$，一個極大的子模鏈 ${\displaystyle \{0\}=M_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n}=M}$ 稱為一個合成列，其長度 ${\displaystyle n}$ 是固定的，且合成因子 ${\displaystyle M_{i}/M_{i+1}}$ 在至多差一個置換與同構的意義下唯一。

此外，一個模是有限長模若且唯若它同時是阿廷模與諾特模。

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X