螺旋曲面

一個α=1、-1≤ρ≤1、-π≤θ≤π的螺旋曲面

螺旋曲面可視為一個線段沿著垂直於其中點的直線，勻速螺旋上升時掃過的曲面，可視為是螺旋線的立體版本，是在平面及懸鏈曲面後，第三個已知的极小曲面。

描述

螺旋曲面曾在1774年及1776年分別由萊昂哈德·歐拉及Jean Baptiste Meusnier描述過[1]，其英文Helicoid可以看出它和螺旋線（helix）之間的相關性：針對螺旋曲面上的每一點，都存在一個通過該點的螺旋線，且整條螺旋線都落在螺旋曲面上。若仔細的觀察螺旋曲面，且螺旋曲面夠長的話，會發現若選定一個小區域的曲面，在螺旋曲面的前方及後方至少各會找到一個曲面和原曲面平行。

螺旋曲面也是直紋曲面（及正劈錐曲面（英语：Right conoid）），表示它可以表示為一條直線在指定方式移動及轉動下產生的軌跡。而針對螺旋曲面上的每一點，都存在一條在螺旋曲面上的直點通過該一點。歐仁·查爾斯·加泰蘭（英语：Eugène Charles Catalan）在1842年證明了只有螺旋曲面和平面是同時為直紋曲面及最小曲面的曲面[2]。

螺旋曲面和懸鏈曲面是屬於螺旋-懸鏈曲面極小曲面族的成員之一。

螺旋曲面的形成方式類似阿基米德式螺旋抽水機，但在各方面延伸到無限大，可以用以下笛卡儿坐标系下的參數式表示：

${\displaystyle x=\rho \cos(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle y=\rho \sin(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle z=\theta ,\ }$

其中ρ和θ範圍由負無限大到正無限大，而α為常數。若α為正值，螺旋曲面為逆時針螺旋，反之則為順時針螺旋。

螺旋曲面的主曲率為${\displaystyle \pm 1/(1+\rho ^{2})\ }$，其主曲率的和為其平均曲率（數值為零，因此為极小曲面），主曲率的乘積為高斯曲率。

螺旋曲面和平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$同胚。若要確認這一點，可以將α由原先的數值連續的減到零，在每一個α數值下，都可以找到一個對應的螺旋曲面。當α為零時，螺旋曲面變成一個垂直的平面。

若令h為z方向的最大值，而R為半徑，則螺旋曲面的面積為${\displaystyle \pi [R{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})+h^{2}*\ln((R+{\sqrt {(}}R^{2}+h^{2})/h)]}$。

螺旋曲面和懸鏈曲面

動畫說明螺旋曲面如何變化為懸鏈曲面

螺旋曲面和懸鏈曲面是局部等距的曲面。

相關條目

• 迪尼曲面（英语：Dini's surface）
• 正劈錐曲面（英语：Right conoid）
• 直紋曲面

參考資料

1. A. T. Fomenko. Minimal Surfaces, Stratified Multivarifolds, and the Plateau Problem. American Mathematical Soc. 21 February 1991: 71–. ISBN 978-0-8218-9827-7. 
2. Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin Contributor A. A. Tuzhilin Published by AMS Bookstore, 1991 ISBN 0-8218-4552-7, ISBN 978-0-8218-4552-3, p. 33

外部連結

• Interactive 3D Helicoid plotter using Processing (with code)
• Hazewinkel, Michiel (编), Helicoid, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• WebGL-based Interactive 3D Helicoid （页面存档备份，存于互联网档案馆）