藏本模型

藏本模型（Kuramoto model）是一种用来描述同步的数学模型，由日本物理学家藏本由纪（Kuramoto Yoshiki）首先提出[1][2]。具体说来，它描述了大量耦合振子的同步行为[3][4]。这个模型原本是为了描述化学振子、生物振子而构建，后发现具有广泛的应用，例如神经振荡[5][6][7]，以及振荡火焰的动力学[8][9]。惊人的是，一些物理系统的行为也符合这个模型，比如耦合约瑟夫森结的阵列[10]。

这个模型假设，所有振子都是完全相同的或几乎完全相同的，相互之间的耦合很弱、并且任意两个振子之间的相互作用强度取决于它们相位差的正弦。

定义

在藏本模型最常见的版本中，每个振子都有一个固有的自然频率${\displaystyle \omega _{i}}$，并与所有其它振子以相同的强度耦合。惊人的是，在${\displaystyle N\to \infty }$的极限下，通过巧妙的变换并使用平均场方法，这个完全非线性的模型是可以精确求解的。

藏本模型中的锁相

这个模型最常见的形式由以下方程组给出：

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}},\quad i=1,\cdots ,N}$

系统由${\displaystyle N}$个极限环振子组成，${\displaystyle \theta _{i}}$是第${\displaystyle i}$个振子的相位，${\displaystyle K}$是耦合强度。

也可以在系统中加入噪声。这种情况下，方程变为

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}+\zeta _{i},\quad i=1,\cdots ,N}$

其中${\displaystyle \zeta _{i}}$是涨落，并且是时间的函数。如果考虑白噪声的情况，则：

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\rangle =0,}$

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')}$

其中${\displaystyle D}$代表噪声强度。

变换

使得这个模型（至少在${\displaystyle N\to \infty }$的极限下）能够精确求解的变换如下所示：

定义“序”参量

${\displaystyle Re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{e^{i\theta _{j}}}}$

${\displaystyle R}$表征了这群振子的相位相关性，${\displaystyle \psi }$是平均相位。方程两边乘以${\displaystyle e^{-{\text{i}}\theta _{i}}}$，只考虑虚部得到：

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+KR\sin {(\psi -\theta _{i})}}$

因此振子的方程组就不是显式耦合的；相反，序参量支配了系统的行为。通常还会做进一步的变换，变换到一个转动的坐标系，其中所有振子相位的统计平均为零（即${\displaystyle \psi =0}$）。最终，方程变为：

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-KR\sin {\theta _{i}}}$

大N极限

考虑${\displaystyle N\to \infty }$的情况。自然频率的分布记为${\displaystyle g(\omega )}$（假设已经归一化）。设在时刻${\displaystyle t}$，在所有自然频率为${\displaystyle \omega }$的振子中，相位为${\displaystyle \theta }$的振子所占比例为${\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)}$。归一化要求

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\rho (\theta ,\omega ,t)d\theta }=1}$

振子密度的连续性方程为

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial \theta }}=0}$

其中${\displaystyle v=\omega +KR\sin {(\psi -\theta )}}$是振子的漂移速度。

最终，在连续统极限下重新写出序参量。${\displaystyle \theta _{i}}$应该用系综平均来代替，求和替换为积分，得到

${\displaystyle Re^{i\psi }=\int _{0}^{2\pi }{\int _{-\infty }^{\infty }{\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )e^{i\theta }d\omega }d\theta }}$

解

所有振子随机漂移的不相关态对应均匀分布解${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2\pi }}}$。这种情况${\displaystyle R=0}$，振子之间没有关联。系统整体处于统计稳定态，尽管每个振子单独来看都在以自然频率不停运动。

当耦合足够强时，可能会出现完全同步的解。在完全同步态中，所有振子以相同频率运动，但相位可以不同。

部分同步是只有一些振子同步，而另一些振子自由漂移的状态。从数学上来说，对锁相的振子

${\displaystyle \rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin {\frac {\omega }{KR}}\right)}$

对漂移的振子，

${\displaystyle \rho \propto {\frac {1}{\omega -KR\sin {(\theta -\psi )}}}}$

与哈密顿系统的联系

耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密顿系统中[11]，哈密顿量具有形式：

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{{\frac {1}{2}}\omega _{i}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})}+{\frac {K}{4N}}\sum _{i,j=1}^{N}{(q_{i}p_{j}-q_{j}p_{i})(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}-q_{i}^{2}-p_{i}^{2})}}$

用正则变换变成作用量-角度的形式，作用量为${\displaystyle I_{i}={\frac {1}{2}}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})}$，角度（相位）${\displaystyle \theta _{i}=\arctan {\frac {q_{i}}{p_{i}}}}$，在作用量${\displaystyle I_{i}\equiv I}$为常数的不变流形上就是藏本动力学。变换后的哈密顿量

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\omega _{i}I_{i}}-{\frac {K}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}}}$

哈密顿运动方程为

${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \theta _{i}}}=-{\frac {2K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\cos {(\theta _{j}-\theta _{i})}}}$

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial I_{i}}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}/I_{i}}}(I_{i}+I_{j})\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}}$

因为${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=0}$，所以${\displaystyle I_{i}=I}$确定的流形是不变的，并且相位动力学${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}}$就是藏本模型的动力学。这类哈密顿系统描述了某些量子-经典系统，包括玻色-爱因斯坦凝聚。

模型的变体

模型有两种类型的变体，一种改变模型的拓扑结构，另一种改变耦合函数的形式。

改变拓扑

除了具有全连拓扑的原始模型，足够稠密的复杂网络拓扑也可以用同样的平均场处理[12]。而对于局域的行为，例如链形或环形网络上的情况，不能再使用经典的平均场方法，所以只能具体问题具体分析，尽可能利用对称性获取解的信息。

改变相位的相互作用

藏本把两个振子之间的相位相互作用用第1个傅里叶分量来近似，即${\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin \phi }$，其中${\displaystyle \phi =\theta _{j}-\theta _{i}}$。通过把高阶傅里叶分量包括进来，可以得到更好的近似

${\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin \phi +a_{1}\sin {(2\phi +b_{1})}+\cdots +a_{n}\sin {(2n\phi +b_{n})}}$

例如，对于弱耦合Hodgkin-Huxley神经元的网络，其同步行为可以用一些振子来表示，这些振子的相互作用函数保留前四阶傅里叶分量[13]。高阶项的引入也能带来有趣的同步现象，例如异宿环[14]、部分同步态[15]、以及奇美拉态[16]。

参考资料

1. Kuramoto, Yoshiki (1975). H. Araki, ed. Lecture Notes in Physics, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics. 39. Springer-Verlag, New York. p. 420.
2. Kuramoto Y (1984). Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. New York, NY: Springer-Verlag.
3. Strogatz S (2000). "From Kuramoto to Crawford: Exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators". Physica D. 143 (1–4): 1–20. Bibcode:2000PhyD..143....1S. doi:10.1016/S0167-2789(00)00094-4.
4. Acebrón, Juan A.; Bonilla, L. L.; Vicente, Pérez; Conrad, J.; Ritort, Félix; Spigler, Renato (2005). "The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena" (PDF). Reviews of Modern Physics. 77 (1): 137–185. Bibcode:2005RvMP...77..137A. doi:10.1103/RevModPhys.77.137.
5. Cumin, D.; Unsworth, C. P. (2007). "Generalising the Kuromoto model for the study of neuronal synchronisation in the brain". Physica D. 226 (2): 181–196. Bibcode:2007PhyD..226..181C. doi:10.1016/j.physd.2006.12.004.
6. Breakspear M, Heitmann S, Daffertshofer A (2010). "Generative models of cortical oscillations: Neurobiological implications of the Kuramoto model". Front Hum Neurosci. 4. doi:10.3389/fnhum.2010.00190. PMID 21151358. |article= ignored (help)
7. Cabral J, Luckhoo H, Woolrich M, Joensson M, Mohseni H, Baker A, Kringelbach ML, Deco G (2014). "Exploring mechanisms of spontaneous functional connectivity in MEG: How delayed network interactions lead to structured amplitude envelopes of band-pass filtered oscillations". NeuroImage. 90: 423–435. doi:10.1016/j.neuroimage.2013.11.047. PMID 24321555.
8. Sivashinsky, G.I. (1977). "Diffusional-thermal theory of cellular flames". Combust. Sci. And Tech. 15 (3–4): 137–146. doi:10.1080/00102207708946779.
9. Forrester, D.M. (2015). "Arrays of coupled chemical oscillators". Scientific Reports. 5: 16994. arXiv:1606.01556. Bibcode:2015NatSR...516994F. doi:10.1038/srep16994. PMID 26582365.
10. Steven Strogatz, Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order, Hyperion, 2003.
11. Witthaut, Dirk; Timme, Marc (2014). "Kuramoto Dynamics in Hamiltonian Systems". Phys. Rev. E. 90 (3): 032917. arXiv:1305.1742. Bibcode:2014PhRvE..90c2917W. doi:10.1103/PhysRevE.90.032917. PMID 25314514.
12. Rodrigues, F. A.; Peron, T.K.; Ji, P.; Kurths, J. (2016). "The Kuramoto model in complex networks". Physics Reports. 610 (1): 1–98. arXiv:1511.07139. Bibcode:2016PhR...610....1R. doi:10.1016/j.physrep.2015.10.008.
13. Hansel, D.; Mato, G.; Meunier, C (1993). "Phase Dynamics for Weakly Coupled Hodgkin-Huxley Neurons". Europhysics Letters. 23 (5): 367–372. Bibcode:1993EL.....23..367H. doi:10.1209/0295-5075/23/5/011.
14. Hansel, D.; Mato, G.; Meunier, C (1993). "Clustering and slow switching in globally coupled phase oscillators". Physical Review E. 48 (5): 3470–3477. Bibcode:1993PhRvE..48.3470H. doi:10.1103/physreve.48.3470.
15. Clusella, Pau; Politi, Antonio; Rosenblum, Michael (2016). "A minimal model of self-consistent partial synchrony". New Journal of Physics. 18 (9): 093037. doi:10.1088/1367-2630/18/9/093037. ISSN 1367-2630.
16. Abrams, D.M.; Strogatz, S.H. (2004). "Chimera states for coupled oscillators". Physical Review Letters. 93 (17): 174102. arXiv:nlin/0407045. Bibcode:2004PhRvL..93q4102A. doi:10.1103/physrevlett.93.174102. PMID 15525081.