莱布尼茨三角形

莱布尼茨三角形是一種將分數以等腰三角形排列的一種排列方式，三角形二側最外層的數字是其行編號的倒數，其中間的數字是其左側數字和左上方數字差的絕對值。若用代數方式表示：

L(r, 1) = 1/r（r為行編號，最小編號為1）

L(r, c) = |L(r − 1, c − 1) − L(r, c − 1)|（c為為列編號，不會大於r）

莱布尼茨三角形是數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1714年提出[1]。莱布尼茨三角形的前幾列為：

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}}$

莱布尼茨三角形的分母列在（OEIS數列A003506）中，其分子均為1。

在楊輝三角形中，每一項都是其左上方和右上方數字的和．而在莱布尼茨三角形中，每一項都是其左下方和右下方數字的和，例如在第五行中的1/30是第六行二個1/60的和。

楊輝三角形可以用二項式係數來計算，而莱布尼茨三角形也可以用二項式係數來計算：${\displaystyle L(r,c)={\frac {1}{r\times {r-1 \choose c-1}}}}$。而且可以用楊輝三角形中的項次來計算莱布尼茨三角形：「每一行的各項是第一項除以楊輝三角形中對應項次的結果」[2]。

若將莱布尼茨三角形中第n行的所有分母相加，其結果會是${\displaystyle n2^{n-1}}$。例如第3行的分母和為3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 2^2。

特別是的莱布尼茨三角形中的各項可以用以下的積分式表示：

${\displaystyle L(r,c)=\int _{0}^{1}\!x^{c-1}(1-x)^{r-c}\,dx\,.}$

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• 楊輝三角形

參考資料

1. Crilly, Tony. 50 Mathematical Ideas you really need to know. London: Quercus. 2007: 53. ISBN 978-1-84724-008-8. 
2. Wells, David (1986). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p.98. ISBN 978-0-14-026149-3.