莫尔斯–帕莱引理

数学中，莫尔斯–帕莱引理（Morse–Palais lemma）是变分法与希尔伯特空间理论中的一个结果。粗略地讲，它指出临界点附近足够光滑的函数在适当改变坐标后可表为二次型。 莫尔斯–帕莱引理最初是美国数学家马斯顿·莫尔斯利用格拉姆-施密特正交化在有限维情形证明的。这一结论在莫尔斯理论中起着至关重要的作用。到希尔伯特空间的推广归功于理查德·帕莱和斯蒂芬·斯梅尔。

陈述

令${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$为实希尔伯特空间，并令U是H中原点的开邻域。令${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$是${\displaystyle (k+2)}$-次连续可微函数，其中${\displaystyle k\geq 1}$，即${\displaystyle f\in C^{k+2}(U;\mathbb {R} )}$。设${\displaystyle f(0)=0}$，0是f的非退化临界点，即二阶导${\displaystyle D^{2}f(0)}$确定了H与其连续对偶空间${\displaystyle H^{*}}$的同构 $${\displaystyle H\ni x\mapsto \mathrm {D} ^{2}f(0)(x,-)\in H^{*}.}$$

则在U中存在0的子邻域V、微分同胚映射${\displaystyle \varphi :V\to V}$（${\displaystyle C^{k}}$，逆也是${\displaystyle C^{k}}$）、可逆对称算子${\displaystyle A:H\to H}$使得 $${\displaystyle f(x)=\langle A\varphi (x),\varphi (x)\rangle \quad \forall x\in V.}$$

推论

令${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$是${\displaystyle f\in C^{k+2}}$，使得0是非退化临界点。则存在逆为${\displaystyle C^{k}}$的${\displaystyle C^{k}}$微分同胚映射${\displaystyle \psi :V\to V}$、正交分解 $${\displaystyle H=G\oplus G^{\perp },}$$ 使得若有 $${\displaystyle \psi (x)=y+z\quad {\mbox{ with }}y\in G,z\in G^{\perp },}$$ 则 $${\displaystyle f(\psi (x))=\langle y,y\rangle -\langle z,z\rangle \quad {\text{ for all }}x\in V.}$$

另见

• 弗雷歇导数

参考文献

• Lang, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison–Wesley Publishing Co., Inc. 1972.