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臨界穩定
臨界穩定（marginally stable）是在动力系统及控制理论中，針對系統穩定性的描述，線性时不变系统若不是漸近穩定，但也不是不稳定，就屬於臨界穩定。系統若會回到某特定狀態，而且會維持在該狀態附近（稱為穩態），即為穩定。若系統不受限制地離原狀態越來越遠，即為不穩定。臨界穩定的系統介於上述二個情形之間，若離某一穩態一段距離，系統不會回到穩態，但也不會不受限制地偏離穩態。臨界穩定有時也稱為是隨遇穩定（neutral stability）[1]。 臨界穩定和不穩定都是在控制理論中要設法避免的。理想的控制系統會希望在受到外擾擾動後，當外擾消除後，系統可以回到理想的狀態。因此需要設計控制演算法以達到此一目的。 在计量经济学中，若觀察的時間序列中有出現单位根 ，表示有臨界穩定，可能會讓自变量和因变量的迴歸分析無效，除非利用適當技術，將系統轉換為穩定系統才能改善此一情形。 連續時間系統齊次連續线性时不变系统為臨界穩定的充份必要條件是：系統传递函数中每個极点的實部都為非正值，且其中有一個或多個极点實部為零，且均為相異的單根，而其他的极点實部為負值。若所有的極點實部都是負值，系統漸近穩定，若有極點實部為正，則系統不穩定。 若系統是以状态空间來表示，可以推導其若尔当标准型，再分析是否臨界穩定[2]：系統臨界穩定当且仅当其對於實部為0的若尔当區塊為純量。 離散時間系統齊次離散线性时不变系统為為臨界穩定的充份必要條件是，传递函数中極點絕對值的最大值為1，且絕對值為1的極點都是相異的單根。也就是說，传递函数的谱半径為1，若谱半径小於1，系統會收斂。 以下是一個一階線性差分方程的例子：假設狀態變數 x的方程如下 其參數a > 0。若系統受擾動，偏離，其後續數列會是。若a < 1，不論啟始值為何，數列會漸漸接近零。若a > 1，數值會漸漸變到無限大。但若a = 1，數列不會發散，也不會收斂，數列會維持，因此a = 1的例子即為臨界穩定。 系統響應臨界穩定是指一系統若給予有限振幅的狄拉克δ函数為輸入，系統不會發散到無限大，但也不會收斂到零。輸出會持續出現一定大小的偏移或是振盪，一般而言也不會有最終的穩態輸出。若連續系統輸入的頻率恰好是純虛數極點對應的頻率，系統輸出會無限制的增加（即為共振[3]）。這也就是針對有界輸入有界輸出穩定性系統，其極點實部需要為負值（不只是非正值而已）的原因。 若連續系統有純虛數的极点，其輸出會有持續的振盪。例如沒有阻尼的二階系統，也就是沒有阻尼及摩擦力，彈簧為理想彈簧的彈簧-質量系統即為一例，此時會持續的振盪。另一個例子是沒有摩擦力的單擺，其系統在原點處也是臨界穩定。 若要臨界穩定，需要有极点恰好在虛軸（連續時間系統）上或是在單位圓（離散時間系統）上，因此在實際系統中，除非此系統在本質上就有這種特性，不然很少出現這樣的系統。 随机过程在随机过程中，臨界穩定也是很重要的概念，例如有些過程會依循離散時間下的隨機漫步 其中是独立同分布的误差，此方程有单位根（其特徵方程的特徵值有出現1），因此會有臨界穩定，需要使用特殊的時間序列技巧，以經驗方式為有此方程的系統進行建模。 相關條目參考資料
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