在數學上，決定公理 （Axiom of determinacy ，常記做AD ）是一個在1962年由揚·米切爾斯基 雨果·斯坦豪斯 集合論 公理 ，這公理探討的是特定類型且長度為ω 的二人拓樸遊戲 決定的
他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果，他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型L(R) 實數 和序數 。決定公理的一些結果，可由早前由斯特凡·巴拿赫 、斯坦尼斯瓦夫·馬祖爾 實數 的集合都是勒貝格可測 的。之後Donald A. Martin等人證明了更多重要的結果，尤其在描述集合論 方面更是如此。在1988年，約翰·斯蒂爾 烏丁
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
不可數 基數 存在的狀況下，米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏原先的猜想，也就是「決定公理在集合論的最小自然模型L(R)
決定公理所談論的遊戲具有特定的定義，而其定義如次：
考慮所有自然數的無限序列組成的貝爾空間
ω
ω
{\displaystyle \omega ^{\omega }}
A
{\displaystyle A}
1p 與2p 輪流選取自然數
n
0
,
n
1
,
n
2
,
n
3
,
.
.
.
{\displaystyle n_{0},n_{1},n_{2},n_{3},...}
在經過無限步後，可得一序列
(
n
i
)
i
∈
ω
{\displaystyle (n_{i})_{i\in \omega }}
1p 獲勝當且僅當這序列是
A
{\displaystyle A}
不是所有的遊戲的決定性，都需要動用決定公理來證明。在
A
{\displaystyle A}
閉開集 的情況下，那這遊戲基本是有限的，也因此是決定的；相似地，若
A
{\displaystyle A}
閉集 ，那這遊戲是決定的。在1975年，唐纳德·A·馬丁 博雷爾集 的話，那這遊戲是決定的；此外，在有足夠大的基數 存在的狀況下，所有必勝策略是射影集 L(R)
另外，決定公理蘊含說對於任何實數線 的子空間
X
{\displaystyle X}
巴拿赫－馬祖爾遊戲
B
M
(
X
)
{\displaystyle BM(X)}
貝爾性質 ）。
在假定選擇公理成立的狀況下，我們可以構造決定公理的一個反例。集合
S
1
{\displaystyle S_{1}}
ω
{\displaystyle \omega }
G
{\displaystyle G}
連續統 相同；而類似地，
S
2
{\displaystyle S_{2}}
S
G
{\displaystyle SG}
G
{\displaystyle G}
A
{\displaystyle A}
S
G
{\displaystyle SG}
良序 ，且我們可以構造出一個任何真初始部分都小於連續統的排序，而我們可利用這樣的良序集
J
{\displaystyle J}
S
1
{\displaystyle S_{1}}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
A
{\displaystyle A}
我們從空集合
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
α
∈
J
{\displaystyle \alpha \in J}
S
1
{\displaystyle S_{1}}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
S
1
=
s
1
(
α
)
{\displaystyle S_{1}={s1(\alpha )}}
S
2
=
s
2
(
α
)
{\displaystyle S_{2}={s2(\alpha )}}
t
{\displaystyle t}
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
A
{\displaystyle A}
α
{\displaystyle \alpha }
超限遞歸 來生成反例：
首先，考慮玩家一的策略
s
1
(
α
)
{\displaystyle s1(\alpha )}
將這策略套用於
ω
{\displaystyle \omega }
s
1
(
α
)
{\displaystyle s1(\alpha )}
{
a
(
1
)
,
b
(
2
)
,
a
(
3
)
,
b
(
4
)
.
.
.
a
(
t
)
,
b
(
t
+
1
)
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}}
A
{\displaystyle A}
{
b
(
2
)
,
b
(
4
)
,
b
(
6
)
.
.
.
}
{\displaystyle \{b(2),b(4),b(6)...\}}
J
{\displaystyle J}
{
β
∈
J
|
β
<
J
}
{\displaystyle \{\beta \in J|\beta <J\}}
現在（若這序列還不在
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
s
1
(
α
)
{\displaystyle s1(\alpha )}
{
b
(
2
)
,
b
(
4
)
,
b
(
6
)
.
.
.
}
{\displaystyle \{b(2),b(4),b(6)...\}}
現在，考慮玩家二的策略
s
2
(
α
)
{\displaystyle s2(\alpha )}
將這策略套用於
ω
{\displaystyle \omega }
s
2
(
α
)
{\displaystyle s2(\alpha )}
{
a
(
1
)
,
b
(
2
)
,
a
(
3
)
,
b
(
4
)
.
.
.
a
(
t
)
,
b
(
t
+
1
)
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}}
B
{\displaystyle B}
{
a
(
1
)
,
a
(
3
)
,
a
(
5
)
.
.
.
}
{\displaystyle \{a(1),a(3),a(5)...\}}
J
{\displaystyle J}
{
β
∈
J
|
β
<
J
}
{\displaystyle \{\beta \in J|\beta <J\}}
現在（若這序列還不在
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
s
2
(
α
)
{\displaystyle s2(\alpha )}
{
a
(
1
)
,
a
(
3
)
,
a
(
5
)
.
.
.
}
{\displaystyle \{a(1),a(3),a(5)...\}}
利用對
α
{\displaystyle \alpha }
超限歸納法 ，對
S
1
{\displaystyle S_{1}}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
當這一切完成後，準備
ω
{\displaystyle \omega }
G
{\displaystyle G}
s
1
{\displaystyle s1}
α
∈
J
{\displaystyle \alpha \in J}
s
1
=
s
1
(
α
)
{\displaystyle s1=s1(\alpha )}
A
{\displaystyle A}
s
1
(
α
)
{\displaystyle s1(\alpha )}
{
b
(
2
)
,
b
(
4
)
,
b
(
6
)
.
.
.
}
{\displaystyle \{b(2),b(4),b(6)...\}}
s
1
{\displaystyle s1}
在二十世紀晚期，人們提出多種不同的無窮邏輯
∀
G
⊆
S
e
q
(
S
)
:
{\displaystyle \forall G\subseteq Seq(S):}
∀
a
∈
S
:
∃
a
′
∈
S
:
∀
b
∈
S
:
∃
b
′
∈
S
:
∀
c
∈
S
:
∃
c
′
∈
S
.
.
.
:
(
a
,
a
′
,
b
,
b
′
,
c
,
c
′
.
.
.
)
∈
G
{\displaystyle \forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\in G}
∃
a
∈
S
:
∀
a
′
∈
S
:
∃
b
∈
S
:
∀
b
′
∈
S
:
∃
c
∈
S
:
∀
c
′
∈
S
.
.
.
:
(
a
,
a
′
,
b
,
b
′
,
c
,
c
′
.
.
.
)
∉
G
{\displaystyle \exists a\in S:\forall a'\in S:\exists b\in S:\forall b'\in S:\exists c\in S:\forall c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\notin G}
註：
S
e
q
(
S
)
{\displaystyle Seq(S)}
S
{\displaystyle S}
ω
{\displaystyle \omega }
量化詞 序列。
決定公理的相容性，與大基數 相關公理的相容性息息相關。根據烏丁 策梅洛-弗蘭克爾集合論 的相容性，等價於帶有選擇公理並帶有烏丁基數 策梅洛-弗蘭克爾集合論 的相容性。由於烏丁基數是強不可達基數 之故，因此若決定公理是相容的，那不可達基數的無限性也是相容的。
此外，若假設有無窮多個烏丁基數，且其上還存在一個可測基數 ，大於該些烏丁基數，則可得到一個非常強的、關於勒貝格可測 的實數集合的理論，而這是因為可以證明決定公理在L(R) L(R)
Mycielski, Jan ; Steinhaus, Hugo . A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques. 1962, 10 : 1–3. ISSN 0001-4117 MR 0140430 Mycielski, Jan ; Świerczkowski, Stanisław . On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fund. Math. 1964, 54 : 67–71. doi:10.4064/fm-54-1-67-71 Woodin, W. Hugh . Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 1988, 85 (18): 6587–6591. PMC 282022 PMID 16593979 doi:10.1073/pnas.85.18.6587 Martin, Donald A. ; Steel, John R. A Proof of Projective Determinacy. Journal of the American Mathematical Society . Jan 1989, 2 (1): 71–125. JSTOR 1990913 doi:10.2307/1990913 Jech, Thomas . Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. 2002. ISBN 978-3-540-44085-7 Kanamori, Akihiro . The Higher Infinite 2nd. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-3-540-88866-6 Moschovakis, Yiannis N. Descriptive set theory (PDF) 2nd. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2009. ISBN 978-0-8218-4813-5原始内容 (PDF) 存档于2014-11-12）.
