此条目页的主題是廣義的正多面體。关于常見的五種凸正多面體，請見「
柏拉圖立體 」。
在幾何學 中，正多面體 是同時具有等邊、等角和等面特性的多面體 。在經典語境中，有許多描述上不同但實際上等價的定義存在，最常見的定義是每個面都是全等的正多邊形，且每個頂點都是相同數量且相同種類之正多邊形的公共頂點。例如立方體是一種正多面體，其每個面都是正方形，且每個頂點都是3個正方形的公共頂點。在中文環境中，一般被大眾認知的正多面體通常代表只有五種的凸正多面體 ，又稱為柏拉圖立體 ，其包括了正四面體 、立方體 、正八面體 、正十二面體 和正二十面體 。然而在定義上，正多面體僅指每個面是正多邊形、每條邊等長每個角等角且每面全等的多面體，而符合上述定義的多面體不一定是凸多面體，也可能是星形多面體、抽象多面體或扭歪多面體 等。這些多面體除了五種凸正多面體外，還有四種非凸正多面體（克卜勒－龐索立體 ）、五種抽象正多面體和五種複合正多面體。
立方體 的其中一個標記 ，其包括了立方體本身、其中一個正方形 面 、該面的其中一條稜 、稜上的一個頂點 以及這個立方體中「什麼都不選」的子集，即空多胞形 ，五個元素，正好每個維度各一個元素，且較大的元素包含較小的元素。若一個多面體所具備的對稱性可以讓這個多面體中任意兩個這樣（如上圖）的結構（或元素）A與B，透過該對稱性下的變換（如旋轉、平移或鏡射）使得A變換到B的位置上時，其仍然佔據了相同的空間區域時，則這個多面體是一個正多面體，前面的性質又可以稱為標記 可遞在幾何學 中，正多面體 是一類對稱性可以在其各維度元素的集合（或稱標記 [ 註 1] [ 註 2]
所有正多面體皆可以使用施萊夫利符號 來表示，其可以計為{n , m } n m 柏拉圖立體 ，其包括了正四面體 、立方體 、正八面體 、正十二面體 和正二十面體 。然而在定義上，正多面體僅指每個面是正多邊形、每條邊等長每個角等角且每面全等的多面體，而符合上述定義的多面體不一定是凸多面體，也可能是星形多面體、抽象多面體或扭歪多面體等。這些多面體除了五種凸正多面體外，還有四種非凸正多面體（克普勒–龐索立體）、五種抽象正多面體和五種複合正多面體。
一般常見的正多面體為五種正凸多面體，又稱為柏拉圖立體。除了這種凸多面體外，亦有非凸的正多面體，為四種星形正多面體，又稱為克普勒–龐索立體；以及五種正多面體的複合體。
廣泛地出現在文化中的五種正多面體。[ 2]
克卜勒－龐索立體的面同樣由正多邊形組成，但其面或邊有自我相交的情形，即非凸多面體。由於外觀如同星狀，因此又稱為星形正多面體。[ 3]
由多個同一種正多面體組合而成且具有高度對稱性的結構也可以視為正多面體的一種。[ 4] 正四面體 組成的星形八面體 ，其類似於由兩個正三角形 組成的大衛之星 在三維空間中的類比。多個正多面體的複合結構也可以有其他種類，然而其未必會符合標記[ 註 1] [ 註 2] 三複合正八面體 。
正多面體最基本的特性就是每個面都是全等的正多邊形、每條邊等長且每角等角。
在定義中，每個頂點周圍有相似的面排佈的性質可以替換成下列的等價條件：
此多面體的每個頂點都坐落在同一個球上（即存在外接球）
每個二面角皆相等
所有頂點圖 （頂點的截面）皆為正多邊形
所有立體角 皆相等[ 5]
正多面體具有三個相關的球體（其他非正多面體至少缺少一種），其球心位於同一個點上：
20世紀出現了一系列關於正多面體概念的概括，導致了正多面體出現了幾個新的種類。
在20世紀最初的幾十年，考克斯特和皮特里考慮了頂點的排佈以及角呈現馬鞍形樣式的多面體類型，並找到了三種由正多邊形組成且無限延伸的折疊形幾何結構，被命名為正扭歪無限面體 。[ 6]
如同扭歪多邊形 的定義（不共面的多邊形），有限面數的扭歪多面體則為其無法所有面或頂點皆位於同一個三維空間的多面體，因此會需要四維或以上的空間來構造限面數的扭歪多面體，就如同皮特里多邊形為正多面體上的一個不共面封閉路徑，有限面數的扭歪多面體可以從四維正多胞體中取一個不共三維空間的封閉區域來構造。[ 7]
四維空間中的正扭歪有限面體
平行考克斯特平面投影
球極平面投影
A4
F4
四角六片三角孔扭歪正三十面體 {6, 4 | 3}
{4, 8 | 3}
{8, 4 | 3}
{4, 4 | n}
30個正方形 面
20個正六邊形 面
288個正方形 面
144個正八邊形 面
n 2 2n 2 n 2
在非歐幾里德空間（雙曲空間、橢圓空間等）以及諸如複數空間或四元數空間等其他空間被發現之後，對於這些空間幾何學的研究導致了更多新種類的正多面體被發現，如複正多面體[ 8]
在幾何中，複數空間的多面體是實數空間中的多面體在複數空間的推廣。[ 8]
在幾何中，四元數空間的多面體是實數空間中的多面體在四元數空間的推廣。其與複數空間類似，點不具有序性，因此沒有「位於...之間」的相互關係，因此一個四元數空間多面體可以被理解為一組點、線和面等的排佈關係，其中，點為多條線的連接點、線連接了多個面。由於四元數 的乘法不具有交換率，因此必須透過純量與向量相乘來構建乘法系統，通常會使用左乘法。[ 10]
四元數空間的正多面體與實數空間的正多面體和複數空間的正多面體一樣，其對稱性皆可以被描述為反射群。例如，一個正的四元數空間直線可以與U 1 (H )的有限子群一一對應：二元循環群 一般四元数群 二元二面體群 二元四面體群 二元八面體群 二元二十面體群 [ 11]
三階六邊形鑲嵌蜂巢體 {6,3,3}中的正六邊形鑲嵌 {6,3}胞其頂點皆位於該雙曲空間极限球 在H3 的雙曲仿緊空間 中的正堆砌體或蜂巢結構體通常具有正鑲嵌圖 的胞或頂點圖 。在這樣的結構中，這些鑲嵌圖可以視為存在角虧並在封閉於一個無窮遠點。若當雙曲正堆砌體或蜂巢結構體位於非緊空間時則其會封閉於2個或以上個無窮遠點甚至是發散。
另一組正多面體為实射影平面的鑲嵌結構，其包括了立方體半形 、八面體半形 、十二面體半形 和二十面體半形 。[ 12]
到目前為止，多面體皆被認為是任意維度之多胞形在三維空間的例子。在20世紀下半葉出現了抽象代數概念的發展，如多面體組合學 抽像多胞形 偏序关系 的概念。抽像多面體的元素包括了它的主體（最大元素）、面、邊、頂點和空多胞形 。這些抽像元素可以映射到普通空間或具體化成一個幾何形狀 。一些抽象多面體具有良好具像化實例，但不一定所有的抽象多面體都能找到對應的具像化實例。抽象多面體與一般的多面體同樣可以定義標記 [ 註 1] 標記 上傳遞[ 註 2] 標記 都可以在多面體的對稱性下映射到任何其他標記 上。
在考克斯特於1977年出版的著作《正多胞形 耶爾格·邁克爾·威利 [ 13] 2 ×S5 對稱性，但只能具像化出一半的對稱性，即C2 ×A5 或二十面體群對稱性。[ 14] [ 15] [ 16]
多面體
內側菱形三十面體
截半大十二面體
內側三角六邊形二十面體
雙三斜十二面體
凹五角錐十二面體
種類
{4,5}6
{5,4}6
{6,5}4
{5,6}4
{6,6}6
頂點圖
{5}, {5/2}
(5.5/2)2
{5}, {5/2}
(5.5/3)3
面
30個菱形
12個五邊形
20個六邊形
12個五邊形
20個六邊形
鑲嵌
{4, 5}
{5, 4}
{6, 5}
{5, 6}
{6, 6}
χ
−6
−6
−16
−16
−20
柏拉圖立體的皮特里對偶 正則地區圖 ，其頂點和邊對應於原始多面體的頂點和邊，其面是扭歪皮特里多邊形的集合。[ 17]
正多面體的皮特里對偶
名稱
皮特里正四面體
皮特里立方體
皮特里正八面體
皮特里正十二面體
皮特里正二十面體
施萊夫利符號
{3,3}π 3 {4,3}π 4 {3,4}π 3 {5,3}π {3,5}π
(頂點數,邊數,面數), χ
(4,6,3), χ = 1 (8,12,4), χ = 0 (6,12,4), χ = −2 (20,30,6), χ = −4 (12,30,6), χ = −12
面
3個正扭歪四邊形
4個正扭歪六邊形
6個正扭歪十邊形
圖像
旋轉動畫
相關圖
3 = {4,3}/2 = {4,3}(2,0)
3 = {6,3}(2,0)
3 = {6,4}(4,0)
5
{10,5}3
五個凸正多面體和四個星形多面體皆可以表示成球面多面體，或球面鑲嵌：
二角形 二面體正三角形 二面體正方形 二面體正五邊形 二面體正六邊形 二面體...
{n
...
{2,n
部分多面體雖然不是正多面體，但與正多面體有一定的關連。
正多邊形多面體或稱正多邊形面多面體（Regular-faced Polyhedron）是指所有面都是正多邊形的多面體。[ 18] 詹森多面體 雖然所有面都是正多邊形但都不是正多面體。正多邊形多面體可以分為以下幾類：[ 19]
有n n
0、0、0、1、2、3、2、7、3、6、4、7、3、13、2、5、4、6、1、9、2、6、1、4、1、8、4、2、1、3、1、10、1、3、1、2、4、3、1、2、1、9、1、2、1、2、2、2、1、2、1、9、1、2、1、2、1、2、1、2、1、9、1、2、... （OEIS 數列A180916 ） 有n n
0、0、0、1、2、3、3、6、5、7、4、10、1、6、5、6、0、6、0、8、1、4、1、8、4、2、0、3、0、9、0、3、0、2、3、2、0、2、0、5、0、2、0、2、1、2、0、3、0、5、0、2、0、2、4、2、0、2、0、10、0、2、0、2、1、2、... （OEIS 數列A333660 ）
稀有多面體 是指同時具備面可遞 和點可遞 的立體，也就是說這類立體既是等面 的也是等角 的，由於三維空間的複雜性，要滿足此特性並不容易，因此稱稀有多面體。稀有多面體不一定是正多面體，因為稀有多面體不一定滿足等邊 （邊可遞）的特性，但所有正多面體都是稀有多面體 。
^ 1.0 1.1 1.2 多面體標記 是一系列多面體元素的集合，這個集合中會包括1個多面體的主體、多面體的其中一個面、前者提到的面中的其中一條稜、前者提到的稜中的其中一個頂點和一個空多胞形。
^ 2.0 2.1 2.2 在多面體中，某種元素的「可遞」性質代表這立體上的任意兩個同類元素A和B，透過在該立體的對稱性下旋轉或鏡射這個立體，使A移動到B原來的位置時，其元素仍然佔據了相同的空間區域[ 1]
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柏拉圖立體 星形正多面體 正扭歪無限面體 皮特里對偶 無法良好具像化的抽象 複合正多面體
一種多面體 對偶複合體
二複合正四面體 {3,3}{3,3}複合八面體立方體 {3,4}{4,3}複合十二面體二十面體 {5,3}{3,5}複合大二十面體大星形十二面體 5 /2 }{5 /2 ,3}複合小星形十二面體大十二面體 {5 /2 ,5}{5,5 /2 }二複合六角六片三角孔扭歪無限面體 {6,6|3}{6,6|3}複合四角六片四角孔扭歪無限面體六角四片四角孔扭歪無限面體 {4,6|4}{6,4|4}
其他空間的正多面體
相關條目
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![D-星形二十面體[22][23]](File:Stellation_icosahedron_d.png)
