林德曼-魏尔斯特拉斯定理

林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ 是代数数，在有理数 ℚ 内是线性独立的，那么${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$在 ℚ 内是代数独立的；也就是说，扩张域${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})}$在 ℚ 内具有超越次数 n。

一个等价的表述是：如果${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$是不同的代数数，那么指数${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$在代数数范围内是线性独立的。

这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数${\displaystyle \alpha }$，${\displaystyle e^{\alpha }}$都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。

这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。

e和π的超越性

e和π的超越性是这个定理的直接推论。

假设${\displaystyle \alpha }$是一个非零的代数数，那么${\displaystyle \left\{\alpha \right\}}$在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，${\displaystyle \left\{e^{\alpha }\right\}}$是一个代数独立的集合，也就是说，${\displaystyle e^{\alpha }}$是超越数。特别地，${\displaystyle e^{1}=e}$是超越数^。

另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果${\displaystyle \alpha }$是一个非零的代数数，那么${\displaystyle \left\{0,\alpha \right\}}$就是不同的代数数的集合，因此集合${\displaystyle \{e^{0},e^{\alpha }\}=\{1,e^{\alpha }\}}$在代数数范围内是线性独立的，特别地，${\displaystyle e^{\alpha }}$不能是代数数，因此一定是超越数。

现在，我们来证明${\displaystyle \pi }$是超越数。如果π是代数数，${\displaystyle 2\pi i}$也是代数数（因为${\displaystyle 2i}$是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理， ${\displaystyle e^{2\pi i}}$（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下，可以证明如果${\displaystyle \alpha }$是一个非零的代数数，那么${\displaystyle \sin(\alpha )}$、${\displaystyle \cos(\alpha )}$、${\displaystyle \tan(\alpha )}$和它们的双曲函数也是超越数。

${\displaystyle p}$进数猜想

${\displaystyle p}$进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设${\displaystyle p}$是素数，${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$是${\displaystyle p}$进数，它们都是代数数，且在ℚ内线性独立，使得对于所有的${\displaystyle i}$，都有${\displaystyle |\alpha _{i}|_{p}<1/p}$。那么p进指数${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$在ℚ内是代数独立的。

参见

• 证明e是无理数
• 证明π是无理数

参考文献

• Baker, Alan, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 052139791X 

外部链接

• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理的证明（HTML）