有效域

在数学的一个分支——凸分析中，有效域是对定义域的扩展。

定義

给定一个向量空间X，则一个映射到廣義實數域的凸函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ 的有效域 被定义为：

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:f(x)<+\infty \}}$。[1][2]

对于凹函数，其有效域为：

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:f(x)>-\infty \}}$。[1]

有效域的一个等价说法是上镜图的投影，即：

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:\exists y\in \mathbb {R} :(x,y)\in \operatorname {epi} f\}}$。[3]

注意，如果一个凸函数映射到一般的实数域，即 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$，则其有效域等价于一般的定义域。

函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ 被稱作是真凸函数，当且仅当f 是凸的, f的有效域非空，且对于任意 ${\displaystyle x\in X}$ 有 ${\displaystyle f(x)>-\infty }$。[3]

参考资料

1. Aliprantis, C.D.; Border, K.C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3. Springer. 2007: 254. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9. 
2. Föllmer, Hans; Schied, Alexander. Stochastic finance: an introduction in discrete time 2. Walter de Gruyter. 2004: 400. ISBN 978-3-11-018346-7. 
3. Rockafellar, R. Tyrrell. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997: 23 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6.