數值微分 是數值方法 中的名詞，是用函數的值及其他已知資訊來估計一函數 導數 的演算法 。
最簡單的方式是使用有限差分 近似。
簡單的二點估計法是計算經過(x ,f(x) )及鄰近點(x+h ,f(x+h) )二點形成割線 的斜率[ 1] h ，表示x 的小變化，可以是正值或是負值。其斜率為
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
.
{\displaystyle {f(x+h)-f(x) \over h}.}
此表示法是牛頓 的差商 ，也稱為一階均差 。
割線斜率和切線斜率有些差異，差異大約和h 成正比。若h 近似於0，則割線斜率近似於切線斜率。因此，函數f 真正在x 處真正的斜率是割線趨近切線時的差商：
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
.
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}.}
若直接將h 用0取代會得到除以零 的結果，因此計算導數需要一些較不直覺的的方式。
同様的，切線斜率也可以用(x - h)和x二點的割線斜率近似。
另外一種二點估計法是用經過(x-h ,f(x-h) )和(x+h ,f(x+h) )二點的割線，其斜率為
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
−
h
)
2
h
.
{\displaystyle {f(x+h)-f(x-h) \over 2h}.}
上述公式稱為對稱差分 ，其一次項誤差相消，因此割線斜率和切線斜率的差和
h
2
{\displaystyle h^{2}}
h 而言這個值比單邊近似還要準確。特別的是公式雖計算x點的斜率，但不會用到函數在x點的數值。
估計誤差為：
R
=
−
f
(
3
)
(
c
)
6
h
2
{\displaystyle R={{-f^{(3)}(c)} \over {6}}h^{2}}
其中
c
{\displaystyle c}
x
−
h
{\displaystyle x-h}
x
+
h
{\displaystyle x+h}
捨入誤差 。
很多工程計算機都是用對稱差分來計算導數，像德州儀器（TI）的TI-82 、TI-83 、TI-84 及TI-85 ，其h =0.001[ 2] [ 3]
雖然在實務十分常用，但上述二種方式的數值微分常被研究者批評，尤其是被一些鼓勵使用自動微分 的研究者批評[ 4] 2 ，用2x計算斜率有幾乎完整的準確度，而用差分近似就會有上述的問題。
在浮點數運算下，不同的
h
{\displaystyle h}
若計算時使用浮點數 ，就需要考慮h 要取到多小。若選的太小，相減之後會有大的捨入誤差 ，事實上整個有限差分的公式都是病態 的[ 5] h 夠小，導數不為零的情形下，在相消後會得到數值微分為零的結果[ 6] h 太大，計算割線斜率的結果就會更加準確，但用割線斜率估算切線斜率的誤差就更大了。
一種可以產生夠小的h ，但又不會產生捨入誤差的方式是
ε
x
{\displaystyle {\sqrt {\varepsilon }}x}
x 不能為0），其中最小浮点数 ε 大約是2.2×10−16 數量級。
[ 7] h 為
h
=
2
ε
|
f
(
x
)
f
″
(
x
)
|
{\displaystyle h=2{\sqrt {\varepsilon |{f(x) \over f''(x)}|}}}
[ 8]
上述的最小浮点数是針對雙精度（64-bit）變數，單精度變數在這類計算幾乎不太實用。其計算結果在二進制中不太可能是「整數」。雖然x 是可以用浮點數表示的數字，但x + h 幾乎不會也是可用浮點數表示（而且和x 不同）的數字，因此x + h 需調整為機器可讀的數字，因此會出現(x + h ) - x 不等於 h 的情形，因此用二個函數計算值計算微分時，二個位置的差不會是h 。幾乎所有的十進制分數在二進制下都會是循環小數（都像1/3在十進制中的情形一様），例如h = 0.1在二進制下會是循環小數，是 0.000110011001100...。因此在浮點數下一個可能計算的方式是：
h:=sqrt(eps)*x;
xph:=x + h;
dx:=xph - x;
slope:=(F(xph) - F(x))/dx;
先計算(x + h ) - x 的值，再用這個值作為微分算式的分母，不過若是用電腦計算，編譯器最佳化 的機能可能會認為dx 和h 相同，因此讓上述的方式失效。若是用C或其他類似的程式語言，可以讓xph 宣告成Volatile变量 ，以避免此一問題。
也有用更高階估計導數的方法，或是估計高階導數的方法。
以下就是一階導數的五點法（一維下的五點模版 [ 9]
f
′
(
x
)
=
−
f
(
x
+
2
h
)
+
8
f
(
x
+
h
)
−
8
f
(
x
−
h
)
+
f
(
x
−
2
h
)
12
h
+
h
4
30
f
(
5
)
(
c
)
{\displaystyle f'(x)={\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}+{\frac {h^{4}}{30}}f^{(5)}(c)}
其中
c
∈
[
x
−
2
h
,
x
+
2
h
]
{\displaystyle c\in [x-2h,x+2h]}
微分求积 [ 10] [ 11] 數值積分 中用的求积（quadrature），也就是像梯形法 或是辛普森法 中用的加權和，有許多方式可找出加權的係數，在求解偏微分方程 時會用到微分求积。
傳統用有限差分近似數值微分的方式是病態的，不過若
f
{\displaystyle f}
全純函數 ，在實軸上的值都是實數，可以用複數平面中靠近
x
{\displaystyle x}
數值穩定 的方式，例如[ 6] [ 12]
f
′
(
x
)
≈
ℑ
(
f
(
x
+
i
h
)
)
/
h
{\displaystyle f'(x)\approx \Im (f(x+ih))/h}
上述公式只在計一階導數時有效，若要拓展到任意階導數，需要用到多重复数 ，結果也會是多重复数的導數。[ 13]
而任意階的導數可以用柯西積分公式 計算：
f
(
n
)
(
a
)
=
n
!
2
π
i
∮
γ
f
(
z
)
(
z
−
a
)
n
+
1
d
z
{\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} z}
其中積分會用數值積分 計算。
Lyness和Moler在1967年提出用複變數來計算數值微分[ 14] 拉普拉斯轉換 的數值反演為基礎的算法[ 15]
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![{\displaystyle c\in [x-2h,x+2h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666c60123c8e7ff40bbb58e46c1af3c5fbb5e688)
