指标的上升和下降

在数学与数学物理中，给定流形 M 上一个张量，若在 M 已有一个非退化形式（比如黎曼度量或闵可夫斯基度量），我们可将指标上升或下降：将一个 ${\displaystyle (k,l)}$ 张量变成一个 ${\displaystyle (k+1,l-1)}$ 张量（上升）或一个 ${\displaystyle (k-1,l+1)}$ 张量（下降）。 这里记号 ${\displaystyle (k,l)}$ 用于表示张量的秩 ${\displaystyle k+l}$，有 ${\displaystyle k}$ 个上指标和 ${\displaystyle l}$ 个下指标。

可以这样做：将张量乘以共变或反变度量张量，然后做缩并。下文在对重复指标 ${\displaystyle j}$ 求和时使用爱因斯坦记号。

乘以反变度量张量（然后缩并）上升指标：

${\displaystyle g^{ij}A_{j}=A^{i},}$

而乘以共变度量张量（然后缩并）下降指标：

${\displaystyle g_{ij}A^{j}=A_{i},}$

对同一个指标先上升然后下降（或顺序相反）得到原来的张量，这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆：

${\displaystyle g^{ij}g_{ji}=g_{ij}g^{ji}=g_{i}^{i}=Trg=N.}$

这里 N 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异，但相反的过程需要非奇异条件。

广义相对论中的例子

闵可夫斯基空间具有度量张量

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

共变电磁张量由下式给出

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

注意：一些教材，比如 Griffiths[1]，可能有一个因子 -1。这是因为他们使用了度量张量与此处差一个符号，参见度量符号。老教材比如 Jackson 2ed 没有因子 c；他们使用高斯单位，这里使用国际单位制。

为了得到共变张量 ${\displaystyle F_{\mu \nu }\,}$，我们用

${\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \kappa }g_{\nu \lambda }F^{\kappa \lambda }\,}$

注意因为 ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ 是对角的，上式中许多项其实没有：

${\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \mu }g_{\nu \nu }F^{\mu \nu }\,}$

对指标 1、2、3 使用拉丁字母：

${\displaystyle F_{ij}=g_{ii}g_{jj}F^{ij}=F^{ij}\,}$

因为度量张量中的因子都是 -1。

${\displaystyle F_{ii}=(g_{ii})^{2}F^{ii}=F^{ii}\,}$

${\displaystyle F_{0i}=g_{00}g_{ii}F^{0i}=-F^{0i}\,}$

类似

${\displaystyle F_{i0}=-F^{i0}\,}$

将它们放在一起，我们得到：

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

参考文献

1. Griffiths, David J. Introduction to Elementary Particles. Wiley, John & Sons, Inc. 1987. ISBN 0-471-60386-4. 

相关条目

• 爱因斯坦记号
• 度量张量
• 音乐同构