扁球面坐標系

圖1）扁球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色扁球面的${\displaystyle \mu =1}$。藍色半雙曲面的${\displaystyle \nu =45^{\circ }}$。黃色半平面的${\displaystyle \phi =-60^{\circ }}$（黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是${\displaystyle -60^{\circ }}$）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P（以黑色的圓球表示），直角坐標大約為${\displaystyle (1.09,\ -1.89,\ 1.66)}$。

圖2）橢圓坐標系繪圖。横軸是x-軸，豎軸是z-軸。紅色橢圓（${\displaystyle \mu }$-等值線）變成上圖的紅色扁球面（${\displaystyle \mu }$坐標曲面），而${\displaystyle x>0}$青藍色雙曲線（${\displaystyle \nu }$-等值線）則變成藍色半雙曲面（${\displaystyle \nu }$坐標曲面）。

扁球面坐標系（英語：Oblate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點${\displaystyle F_{1}}$與${\displaystyle F_{2}}$的直角坐標分別為${\displaystyle (-a,\ 0,\ 0)}$與${\displaystyle (a,\ 0,\ 0)}$。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為${\displaystyle a}$的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。

當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（Perrin friction factors）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（rotational diffusion）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（protein NMR），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。

第一種表述

在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$常見的定義是

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi }$、

${\displaystyle y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi }$、

${\displaystyle z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$。

其中，${\displaystyle \mu \geq 0}$是個實數，角度${\displaystyle -90^{\circ }\leq \nu \leq 90^{\circ }}$，角度${\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }}$。

學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

坐標曲面

${\displaystyle \mu }$坐標曲面是扁球面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$。

它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為${\displaystyle a\cosh \mu }$，沿著z-軸，短半軸長度為${\displaystyle a\sinh \mu }$。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為${\displaystyle \pm a}$。

${\displaystyle \nu }$坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$。

假若${\displaystyle \nu }$是正值，${\displaystyle z}$也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。${\displaystyle \nu }$是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為${\displaystyle \pm a}$。

${\displaystyle \phi }$坐標曲面是個半平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$。

逆變換

用直角坐標${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$來計算扁球面坐標${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$，方位角${\displaystyle \phi }$的公式為

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$。

設定${\displaystyle d_{1}}$與${\displaystyle d_{2}}$分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為

${\displaystyle d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}}$、

${\displaystyle d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}}$。

坐標${\displaystyle \mu }$和${\displaystyle \nu }$的方程式分別為

${\displaystyle \cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}}$、

${\displaystyle \cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}}$。

標度因子

扁球面坐標${\displaystyle \mu }$與${\displaystyle \nu }$的標度因子相等：

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$。

方位角${\displaystyle \phi }$的標度因子為

${\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }$。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi }$。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$。

其它微分算子，像${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$，都可以用${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

第二種表述

另外有一組有時會用到的扁球面坐標${\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )}$；其中，${\displaystyle \zeta =\sinh \mu }$，${\displaystyle \xi =\sin \nu }$[1]。${\displaystyle \zeta }$坐標曲面是個扁球面，${\displaystyle \xi }$坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：

${\displaystyle x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi }$、

${\displaystyle y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi }$、

${\displaystyle z=a\zeta \xi }$。

其中，實數${\displaystyle 0\leq \zeta <\infty }$，實數${\displaystyle -1\leq \xi <1}$，角度${\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }}$。

標度因子

扁球面坐標${\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )}$的標度因子分別為：

${\displaystyle h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}}$、

${\displaystyle h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}}$、

${\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}}$。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi }$。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}$。

第三種表述

圖3）第三種扁球面坐標系${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$的三個坐標曲面。紅色扁球面是${\displaystyle \sigma }$坐標曲面。藍色單葉雙曲面是${\displaystyle \tau }$坐標曲面。黃色半平面是${\displaystyle \phi }$坐標曲面 （黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是${\displaystyle \phi }$）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P₁，P₂ （以黑色的圓球表示）觀察到。

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$[2]：

${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$、

${\displaystyle \tau =\cos \nu }$、

${\displaystyle \phi =\phi }$。

坐標${\displaystyle \sigma }$必須大於或等於1。坐標${\displaystyle \tau }$必須在正負1之間。${\displaystyle \sigma }$坐標曲面是扁球面。${\displaystyle \tau }$坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負${\displaystyle \nu }$的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標${\displaystyle (x,\ y,\ \pm z)}$映射至一組扁球面坐標系${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：

${\displaystyle x=a\sigma \tau \cos \phi }$、

${\displaystyle y=a\sigma \tau \sin \phi }$、

${\displaystyle z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}$。

坐標${\displaystyle \sigma }$與${\displaystyle \tau }$有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離${\displaystyle d_{1}}$，最近距離${\displaystyle d_{2}}$：

${\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }$、

${\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }$。

所以，點P與焦圓的最遠距離是${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$，點P與焦圓的最近距離是${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$。

坐標曲面

${\displaystyle \sigma }$坐標曲面是扁球面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1}$。

${\displaystyle \tau }$坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1}$。

${\displaystyle \phi }$坐標曲面是半個平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$。

標度因子

扁球面坐標${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$的標度因子分別為：

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sigma ^{2}+1}}}}$、

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$、

${\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }$。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi }$。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}+1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$。

其它微分算子，像${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$，都可以用${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

參閱

參考文獻

1. Smythe, 1968。
2. Abramowitz and Stegun, p. 752。

參考目錄

不按照命名常規

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用${\displaystyle \xi _{1}=a\sinh \mu }$、${\displaystyle \xi _{2}=\sin \nu }$、${\displaystyle \xi _{3}=\cos \phi }$。

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Morse & Feshbach (1953)，採用${\displaystyle u_{k}}$來替代${\displaystyle \xi _{k}}$。

• Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標${\displaystyle \xi =a\sinh \mu }$、${\displaystyle \eta =\sin \nu }$、${\displaystyle \phi =\phi }$。

按照命名常規

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link)採用第一種表述${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$，又加介紹了簡併的第三種表述${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$。

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Korn and Korn (1961)，但採用餘緯度${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$來替代緯度${\displaystyle \nu }$。

• Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer採用餘緯度常規${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$，又改名${\displaystyle \phi }$為${\displaystyle \psi }$。

特異命名常規

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link)視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。