圓環坐標系

圖 1 ）圓環坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 ${\displaystyle \sigma =30^{\circ }}$ 。藍色環面的 ${\displaystyle \tau =0.5}$ 。黃色半平面的 ${\displaystyle \phi =60^{\circ }}$ 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 ${\displaystyle (0.996,\ -1.725,\ 1.911)}$ 。

圖 2 ）雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色圓球面（ ${\displaystyle \sigma }$-坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色環面（ ${\displaystyle \tau }$-坐標曲面）。

圓環坐標系（英語：Toroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 ${\displaystyle F_{1}}$ 與 ${\displaystyle F_{2}}$ 的直角坐標分別為 ${\displaystyle (-a,\ 0,\ 0)}$ 與 ${\displaystyle (a,\ 0,\ 0)}$ 。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 ${\displaystyle a}$ 的圓圈，包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。

數學定義

在三維空間裏，一個點 P 的圓環坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 最常見的定義是

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }$ 、

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }$ 、

${\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$ ；

其中，${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 是直角坐標，${\displaystyle \sigma }$ 坐標是 ${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$ 的弧度，${\displaystyle \tau }$ 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 ${\displaystyle d_{1}}$ 與 ${\displaystyle d_{2}}$ 的比例的自然對數：

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$ 。

圓環坐標的值域為 ${\displaystyle -\pi <\sigma \leq \pi }$ ，${\displaystyle \tau \geq 0}$ ， ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$ 。

坐標曲面

每一個 ${\displaystyle \sigma }$-坐標曲面都是包含了焦圓，而不同心的圓球面。圓球半徑為

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$ 。

正值 ${\displaystyle \sigma }$ 的圓球面的圓心都在正 z-軸；而負值 ${\displaystyle \sigma }$ 的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值 ${\displaystyle \left|\sigma \right|}$ 增加時，圓球半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時，${\displaystyle \left|\sigma \right|}$ 達到最大值 ${\displaystyle \pi /2}$ 。

每一個 ${\displaystyle \tau }$-坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$ 。

${\displaystyle \tau =0}$ 曲線與 z-軸同軸。當 ${\displaystyle \tau }$ 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

逆變換

圖 3 ）點 P 的坐標 ${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的幾何詮釋。在一個方位角 ${\displaystyle \phi }$ 為常數的平面裏，圓環坐標系變成雙極坐標系。${\displaystyle {\overline {F_{1}P}}}$ 與 ${\displaystyle {\overline {F_{2}P}}}$ 的夾角 ${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$ 的弧度是 ${\displaystyle \sigma }$ 。${\displaystyle F_{1}P}$ 與 ${\displaystyle F_{2}P}$ 的比例的自然對數是 ${\displaystyle \tau }$ 。${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。

${\displaystyle \tau }$ 是 ${\displaystyle d_{1}}$ 與 ${\displaystyle d_{2}}$ 的比例的自然對數：

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$ 。

圓環坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 可以用直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 來表達。方位角 ${\displaystyle \phi }$ 的公式為

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$ 。

點 P 與兩個焦點之間的距離是

${\displaystyle d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}}$ 、

${\displaystyle d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}}$ 。

如圖 3 ，${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$ 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 ${\displaystyle {\overline {F_{1}P}}}$ 與 ${\displaystyle {\overline {F_{2}P}}}$ 的夾角。這夾角的弧度是 ${\displaystyle \sigma }$ 。用餘弦定理來計算：

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}}$ 。

標度因子

圓環坐標 ${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的標度因子相等：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$ 。

方位角的標度因子為

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$ 。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}d\sigma d\tau d\phi }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]}$ 。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ 、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

圓環坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，圓環坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一個圓環導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用圓環坐標，我們可以精緻地分析這例題。

由於托卡馬克的圓環形狀，圓環坐標時常用在托卡馬克的核融合理論研究。

參閱

• 國際熱核聚變實驗反應堆

參考文獻

• Arfken G. Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 112–115.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Andrews, Mark. Alternative separation of Laplace’s equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics. Journal of Electrostatics. 2006, 64: 664–672. 

參考目錄

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 666.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 190–192.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)